Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Ciąg arytmetyczny - CIĄG ARYTMETYCZNY - przykładowe zadania

Zadanie 1

Czy ciąg an = n jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica an+1 - an jest stała (jest liczbą)

Utwórzmy tę różnicę:

Ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź

Różnica wynosi r = 1, czyli ciąg an = n jest arytmetyczny.

Zadanie 2

Ciąg arytmetyczny. Czy ciąg... jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica an+1 - an jest stała (jest liczbą)

Utwórzmy tę różnicę:

Ciąg arytmetyczny. Wyraz... otrzymujemy, gdy do wzoru... w miejsce n wstawimy n+1. Zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej. Różnica wynosi r = 3/2, czyli ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 3

Ciąg arytmetyczny. Czy ciąg... jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica an+1 - an jest stała (jest liczbą)

Utwórzmy tę różnicę:

Ciąg arytmetyczny. Różnica wynosi 3/2, czyli dany ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 4

Czy ciąg bn = n2 + 1 jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica bn+1 - bn jest stała.

Utwórzmy:

Ciąg arytmetyczny. Wstawiamy n + 1 w miejsce n we wzorze n2 + 1. Teraz tworzymy różnicę... Redukujemy wyrazy podobne. Różnica nie jest liczbą! Zauważ, że wyrażenie 2n + 1 zależy od n należy do N, przyjmuje różne wartości w zależności od tego, ile wynosi n.

Odpowiedź

Ciąg (bn) nie jest arytmetycznym.

Zadanie 5

Ciąg arytmetyczny. Czy ciąg... jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica cn+1 - cn jest stała.

Utwórzmy:

Ciąg arytmetyczny. W miejsce n we wzorze wstawiamy... Teraz tworzymy różnicę. Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej i wykonujemy działania zaznaczone w liczniku. Zauważ, że różnica nie jest stała (nie jest liczbą), zależy od n i przyjmuje różne wartości w zależności od n.

Odpowiedź

Ciąg (cn) nie jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 6

Ciąg arytmetyczny. Czy ciąg jest arytmetyczny?

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić, czy różnica un+1 - un jest stała.

Utwórzmy:

Ciąg arytmetyczny. Teraz tworzymy różnicę... Redukujemy wyrazy podobne.

Odpowiedź

Różnica jest stała (jest liczbą), czyli ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 7

Wyznacz ciąg arytmetyczny, mając dane: a5 = 19 i a9 = 35.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć ciąg arytmetyczny, trzeba znaleźć jego pierwszy wyraz (a1) oraz różnicę (r).

Ciąg arytmetyczny. W zadaniu posłużymy się wzorem... Korzystając z danych a5 = 19, a9 = 35, tworzymy układ równań. Układ rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników. Mnożymy rownanie przez (-1). Teraz dodajemy równania stronami. Redukujemy wyrazy podobne. Teraz znajdujemy a1, wstawiając w miejsce r = 4 do np. pierwszego równania. Rozwiązujemy równanie liniowe.

Otrzymaliśmy r = 4 i a1 = 3

Te dwie liczby wyznaczają jednoznacznie ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź

r = 4, a1 = 3

Ciąg arytmetyczny. Posłużymy się wzorem... Wykorzystując dane a4 = 11, a10 = 29, otrzymujemy układ równań. Mnożymy równanie przez (-1). Teraz dodajemy równania stronami. Redukujemy wyrazy podobne. Teraz znajdujemy a1, wstawiając znalezioną wartość r = 3 do równania a1 + 3r = 11. Rozwiązujemy równanie liniowe.

Odpowiedź

a1 = 2, r = 3

Zadanie 9

Wyznacz ciąg arytmetyczny, mając dane a6 = 10 i a16 = 4.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć pierwszy wyraz (a1) i różnicę (r).

Ciąg arytmetyczny. Wykorzystamy wzór... Wykorzystując dane, mamy układ równań... Mnożymy równanie stronami przez (-1). Dodajemy równania stronami. Redukujemy wyrazy podobne. Teraz znajdujemy a1, wstawiając... do równania.

Zadanie 10

Ciąg arytmetyczny. Wiedząc, że ciąg jest arytmetyczny i mając dane... znajdź... Rozwiązanie: najpierw znajdujemy an (n-ty wyraz ciągu arytmetycznego). W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane zadania...

Teraz znajdujemy Sn (sumę n pierwszych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego).

Wiedząc, że n = 50 (czyli 50 wyrazów ciągu), korzystamy ze wzoru

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Zadanie 11

Wiedząc, że ciąg jest arytmetyczny i mając dane a1 = 3, r = 5, an = 57, znajdź: n, Sn.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy n (liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego).

Ciąg arytmetyczny. W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie liniowe. Przenosimy wiadome na prawą stronę, pozostawiając niewiadome po lewej.

Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu). W tym celu posłużymy się wzorem.

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Odpowiedź

n = 13, S13 = 351

Zadanie 12

Wiedząc, że cią jest arytmetyczny i mając dane r = 0,7, n = 21, an = 30, znajdź: a1, Sn.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy a1 (wartość pierwszego wyrazu ciągu).

W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 + (n - 1)r.

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie liniowe.

Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu). W tym celu posłużymy się wzorem:

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Odpowiedź

a1 = 16, S21 = 483

Zadanie 13

Wiedząc, że ciąg jest arytmetyczny i mając dane n = 21, an = 1, Sn = 0, znajdź: a1, r.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy a1 (wartość pierwszego wyrazu ciągu).

W tym celu posłużymy się wzorem:

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie liniowe.

Teraz znajdujemy r (różnicę ciągu arytmetycznego).

W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 + (n - 1)r.

Ciąg arytmetyczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie liniowe.

Zadanie 14

Przy kopaniu studni zapłacono za pierwszy metr głębokości 100 zł, natomiast za każdy następny o 50 zł więcej niż za poprzedni. Ile zapłacono za wykopanie 25-metrowej studni?

Rozwiązanie:

Ciąg arytmetyczny. Mamy obliczyć koszt wykopania całej studni, czyli należy obliczyć...

Odpowiedź

Koszt wykopania 25-metrowej studni wynosi 17 500 zł.

Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij