Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Ciąg geometryczny - Ciąg geometryczny - przykładowe zadania

Zadanie 1

Czy ciąg an = 2n jest geometryczny?

Rozwiązanie:

Ciąg geometryczny. Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą). Utwórzmy ten iloraz. Korzystamy ze wzoru...

Odpowiedź

Iloraz wynosi 2, czyli ciąg an = 2n jest geometryczny

Zadanie 2

Czy ciąg bn = n2 jest geometryczny?

Rozwiązanie:

Ciąg geometryczny. Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą). Utwórzmy ten iloraz. Korzystamy ze wzoru...

Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.

Odpowiedź

Ciąg bn = n2 nie jest geometryczny.

Zadanie 3

Ciąg geometryczny. Czy ciąg jest geometryczny? Rozwiązanie. Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą). Utwórzmy ten iloraz. Korzystamy ze wzoru. Odpowiedź... Iloraz wynosi... czyli ciąg jest geometryczny.

Zadanie 4

Ciąg geometryczny. Czy ciąg jest geometryczny? Rozwiązanie. Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą). Utwórzmy ten iloraz.

Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.

Odpowiedź

Ciąg geometryczny. Ciąg nie jest geometryczny.

Zadanie 5

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 2, q = 1,25, n = 4, znajdź: an, Sn.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy an, (n-ty wyraz ciągu geometrycznego).

Ciąg geometryczny. W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Teraz znajdujemy Sn, (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).

Ciąg geometryczny. W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Zadanie 6

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 3, n = 5, an = 12, znajdź: q, Sn.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy q (iloraz ciągu geometrycznego).

Ciąg geometryczny. W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie potęgowe, korzystając ze wzoru... To równanie nie ma rozwiązania. Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych wyrazów ciągu). W tym celu posłużymy się wzorem... Ponieważ uzyskaliśmy dwie wartości ilorazu, sumę obliczamy osobno...

Zadanie 7

Ciąg geometryczny. Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane... znajdź...

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy a1 (wartość pierwszego wyrazu ciągu).

W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 · qn-1.

Ciąg geometryczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania. Rozwiązujemy równanie liniowe, korzystając ze wzoru... Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu). W tym celu posłużymy się wzorem... Korzystamy z faktu, że...

Odpowiedź

a1 = 729, Sn = 463

Zadanie 8

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 2; q = 3; Sn = 6560, znajdź: n; an.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy n (liczbę wyrazów ciągu geometrycznego).

Ciąg geometryczny. W tym celu posłużymy się wzorem... Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania... Teraz rozwiązujemy równanie wykładnicze, zastępując 6561 potęgą trójki. Ponieważ podstawy są równe, porównujemy wykładniki.

Teraz znajdujemy an (n-ty wyraz ciągu geometrycznego).

W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 · qn-1.

Ciąg geometryczny. Do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania.

Odpowiedź

n = 8, a8 = 4374

Zadanie 9

Ciąg geometryczny. Wykaż, że podane liczby tworzą ciąg geometryczny...

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ciągu geometrycznego, z której wynika, że iloraz dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio poprzedzającego jest wielkością stałą dla danego ciągu, czyli:

Ciąg geometryczny. Iloraz musi być co do wartości równy...

Tę równość spróbujemy sprawdzić, wykonując mnożenie „na krzyż”.

Ciąg geometryczny.

Teraz wykonujemy zaznaczone działania po lewej i prawej stronie równania:

Ciąg geometryczny. Po lewej i po prawej stronie równania uzyskaliśmy tę samą liczbę... To oznacza, że ilorazy są równe, czyli liczby... tworzą ciąg geometryczny.

To warto zapamiętać!

Trzy liczby x, y, z (różne od zera) tworzą ciąg geometryczny, gdy kwadrat środkowej liczby równa się iloczynowi skrajnych, czyli y2 = x · z.

Zadanie 10

Trzy liczby, których iloczyn wynosi 64, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby tworzą także ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?

Rozwiązanie:

Oznaczamy poszukiwane liczby x, y, z.

Teraz każde zdanie z treści zadania spróbujemy zastąpić równaniem.

Ciąg geometryczny. Trzy liczby, których iloczyn wynosi 64 tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby tworzą także ciąg arytmetyczny. Mamy więc układ równań, który trzeba rozwiązać. To wynika z definicji ciągu arytmetycznego; różnica dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stała dla danego ciągu. Ta równość wynika z następującego przekształcenia. Do pierwszego równania w miejsce x x z wstawiamy z drugiego y2. Podstawiamy znalezioną liczbę do drugiego i trzeciego równania. Z trzeciego równania obliczamy... i wstawiamy do drugiego równania. Równanie kwadratowe rozwiązujemy, posługując się wzorami... W miejsce x podstawiamy znalezioną wartość...

Odpowiedź

Te liczby to: 4, 4, 4. (Tworzą one ciąg geometryczny stały).

Zadanie 11

Między liczby 5 i 45 wstaw liczbę x tak, by liczby 5, x, 45 tworzyły ciąg geometryczny.

Rozwiązanie:

Ciąg geometryczny. Liczby 5, x, 45 tworzą ciąg geometryczny, gdy...

Zadanie 12

Dane są cztery liczby. Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg geometryczny, zaś trzy ostatnie ciąg arytmetyczny. Suma liczb skrajnych równa się 14, suma środkowych równa się 12. Znajdź te liczby.

Rozwiązanie:

Oznaczamy szukane liczby x, y, z, t.

Każde zdanie z treści zadania przetwarzamy na równanie.

Ciąg geometryczny. Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg geometryczny. Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg geometryczny (równość wynika z twierdzenia...). Trzy ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny (równość wynika z definicji ciągu arytmetycznego. Suma liczb skrajnych równa się 14, suma liczb środkowych równa się 12.

Powstał układ równań, który należy rozwiązać:

Ciąg geometryczny. Równanie powstało z przekształcenia... Z równania obliczamy... W miejsce podstawiamy... To równanie trzeba uporządkować. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, posługując się wzorami...

Znalezione wartości y podstawiamy do równań:

Ciąg geometryczny.

Odpowiedź

Dane cztery liczby tworzą dwa ciągi geometryczne postaci: (2, 4, 8, 12) lub (12,5; 7,5; 4,5; 1,5).

Zadanie 13

Wyznacz liczbę dodatnią x taką, aby ciąg 5, x, 45 był ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie:

5, x, 45 jest geometryczny, gdy iloraz dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały (jest liczbą), zatem:

Ciąg geometryczny. To wynika z definicji ciągu geometrycznego. Mnożymy na krzyż. To równanie ma dwa rozwiązania, ale zgodnie z poleceniem wyznacz liczbę dodatnią, wybierzemy x = 15.

Odpowiedź

x = 15, ciąg ma postać (5, 15, 45).

Zadanie 14

Hanka kupiła trzy książki, za które zapłaciła łącznie 61 zł. Ceny tych książek tworzą ciąg geometryczny. Za pierwszą i drugą zapłaciła o 11 zł więcej niż za trzecią. Ile Hanka zapłacila za każdą z książek?

Ciąg geometryczny. Rozwiązanie. Skoro ceny tych ksiązek tworzą ciąg geometryczny, to możemy to wykorzystać, stosując następujący wzór... Wstawiamy te zależności do układu równań powyżej. Z pierwszego równania obliczamy a1 i wstawiamy do drugiego równania. Następnie z drugiego równania obliczamy q. W wyniku obliczeń otrzymujemy równanie kwadratowe zmiennej q, czyli aby je obliczyć, musimy policzyć deltę oraz pierwiastki. odrzucamy... Jak widać, otrzymaliśmy dwa rozwiązania tego równania, przy czym pierwsze musimy odrzucić, ponieważ ceny książek nie mogą przyjmować wartości ujemnych. Skoro q = 5/4 to ceny książek są odpowiednio...

Odpowiedź

Hanka zapłaciła za ksiązki 16 zł, 20 zł, 25 zł.

Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij