Działania na wielomianach, równość wielomianów

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Wielomianem stopnia n-tego jednej zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcję postaci... Liczby a0, a1... nazywamy współczynnikami tego wielomianu.

Twierdzenie

Dwa wielomiany są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Zadanie 1

Oblicz wartości W(1), W(-2) dla wielomianu postaci W(x) = 2x3 - 4x - 12.

Rozwiązanie:

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Zadanie 2

Wyznacz współczynniki a, b, c, wiedząc, że W(x) = x5 + ax2 + bx + c, W(-1) = 1, W(0) = 1, W(1) = -1.

Rozwiązanie:

Skoro dla wielomianu W(x) zachodzą warunki: W(-1) = 1, W(0) = 1, W(1) = -1, to możemy zapisać następujący układ równań:

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Do równania drugiego i trzeciego wstawiamy c = 1. Dodajemy stronami równanie pierwsze do drugiego i natychmiast obliczamy a = -1.

Odpowiedź

Szukany wielomian ma postać W(x) = x5 - x2 - 2x + 1.

Zadanie 3

Wyznacz wartości parametrów a, b, c tak, aby wielomiany: W(x) = (a + 1)x3 + 3x2 - 5cx - 2, P(x) = 2x3 + bx2 - 12x - 2 były równe.

Rozwiązanie:

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach obu wielomianów.

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Odpowiedź

Wielomiany W(x) i P(x) są równe dla a = 1, b = 3, c = 2,4.

Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy jego miejsce zerowe, to znaczy taką liczbę r, że W(r) = 0.

Twierdzenie

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - r) jest równa W(r).

Ważnym twierdzeniem jest tak zwane twierdzenie Bézouta.

Twierdzenie Bézouta

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) dzieli się przez (x - r) bez reszty.

Zadanie 4

Sprawdź, czy liczba r = 0,5 jest pierwiastkiem wielomianu:

W(x) = 2x4 + x3 + 5x2 - 2x - 0,5.

Rozwiązanie:

Aby sprawdzić, czy liczba r = 0,5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), należy skorzystać z definicji pierwiastka, czyli sprawdzić równość W(r) = 0. Zatem obliczamy wartość wielomianu dla r = 0,5:

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Odpowiedź

Liczba r = 0,5 jest pierwiastkiem wielomianu.

Zadanie 5

Sprawdź, które liczby {3, -2, 1, -1, 0} są pierwiastkami wielomianu W(x) = 2x4 + x3 - x2 - 2.

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją pierwiastka wielomianu wystarczy sprawdzić czy wartość wielomianu dla tych liczb wynosi zero.

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Widzimy, że po obliczeniu wszystkich wartości spośród wymienionych liczb wielomian ma jeden pierwiastek.

Zadanie 6

Wyznacz wartość parametru a tak, aby liczba r = 2 była pierwiastkiem wielomianu W(x) = x5 + x3 + ax2 - 8.

Rozwiązanie

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Skoro liczba 2 ma być pierwiastkiem naszego wielomianu W(x), to aby policzyć parametr a nalezy rozwiązać równanie W(2) = 0.

Odpowiedź

Dla a = -8 pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba 2.

Twierdzenie:

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki stopnia drugiego (Δ < 0).

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Twierdzenie. Jeżeli liczby x1, x2... są pierwiastkami wielomianu... to wielomian ten możemy zapisać w postaci iloczynowej.

Uwaga!

Jak znajdować szybko wymierne pierwiastki wielomianu? Jak dzielić wielomian przez dwumian, nie stosując dzielenia pisemnego? Na te pytania odpowiemy sobie już za chwilę. Poznajmy metodę dzielenia wielomianu przez dwumian, stosując tak zwaną tabelkę Hornera.

Omówmy tę metodę na przykładzie. Mamy podzielić wielomian.

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Przez dwumian.Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Zgodnie z tematem zadania mamy wielomian postaci:

Działania na wielomianach, równość wielomianów. ... który chcemy podzielić przez dwumian (x - 1).

Wielomian jest stopnia trzeciego, zatem tabelka będzie wyglądać następująco:

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Omówimy na tym przykładzie, jak uzupełnia się tabelę Hornera, krok po kroku.

W pierwszym wierszu wpisujemy wszystkie stopnie wielomianu, w drugim wierszu natomiast wszystkie współczynniki tego wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze zawsze przepisujemy w trzecim wierszu w tej samej kolumnie. Przystępujemy do obliczeń. Mnożymy liczbę z kolumny III przez r = 1 i dodajemy do tego liczbę z kolumny II (u nas 1 · 3 + 2 = 5). Wynik 5 wpisujemy w II kolumnie, w trzecim wierszu. Następnie mnożymy tę liczbę 5 przez r = 1 i dodajemy liczbę z I kolumny (u nas 5 · 1 + (-4) = 1). Wynik tego działania wpisujemy do kolumny I, do wiersza trzeciego. Jeszcze raz postępujemy analogicznie, czyli liczbę 1 mnożymy przez r = 1 i dodajemy liczbę z kolumny 0 (u nas 1 · 1 + 5 = 6). Wynik wpisujemy do kolumny 0, w wiersz trzeci. Na koniec wszystko odkreślamy, przepisując ostatni wiersz jako wiersz czwarty, przesuwając jednocześnie wszystko o jedno miejsce w prawo. To, co nam zostanie po prawej stronie tabeli, jest resztą z dzielenia. Patrz tabelka!!!

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + 2x2 - 4x + 5 przez dwumian (x - 1) otrzymujemy wielomian Q(x) = 3x2 + 5x2 + 1, i resztę R(x) = 6.

Możemy teraz zapisać wielomian w postaci: W(x) = Q(x)(x - 1) + R(x), czyli

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Zadanie 7

Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian P(x), stosując tabelkę Hornera.

Działania na wielomianach, równość wielomianów.

Zadanie 8

Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x). Znajdź współczynniki a, b tego wielomianu W(x) = x3 + ax2 - bx + 6.

Rozwiązanie

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Kolejny raz zastosujemy definicję pierwiastka wielomianu.

W ten sposób otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi, który następnie rozwiązujemy.

Działania na wielomianach, równość wielomianów. Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy a.

Odpowiedź:

Szukany wielomian ma postać W(x) = x3 - 7x + 6.

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij