Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Elementy statystyki - wprowadzenie

Zapamiętaj!

Elementy statystyki. Średnią arytmetyczną (inaczej: średnią lub przeciętną) z n liczb... nazywamy liczbę... Aby obliczyć średnią arytmetyczną z danych liczb, należy sumę tych liczb podzielić przez ich ilość.

Zadanie 1

Oblicz średnią arytmetyczną z liczb 2, 7, 9, 18 i 28.

Rozwiązanie:

Elementy statystyki.

Odpowiedź

Średnia arytmetyczna z danych liczb wynosi 12,8.

Uwaga!

Średnia arytmetyczna z ciągu złożonego z tej samej liczby jest równa tej liczbie.

Przykład 1

Średnia z liczb: 144, 144, 144, 144, 144 wynosi 144, bo:

Elementy statystyki. Licznik i mianownik skracamy przez 5.

Zapamiętaj!

Elementy statystyki. Średnią arytmetyczną ważoną z wartości: x1, x2, ..., xk, którym odpowiadają częstości ich występowania n1, n2, ..., nk, nazywamy liczbę...

Zadanie 2

W pewnej klasie uzyskano następujące oceny ze sprawdzianu: celujący - jedna osoba, bdb - 3 osoby, db - 4 osoby, dst - 8 osób, dop - 7 osób, ndst - 2 osoby. Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu.

Rozwiązanie:

Mamy tutaj do czynienia ze średnią ważoną z ocen: 1, 2, 3,4, 5, 6. Wartościami są tutaj oceny, wagami natomiast są liczebności wystąpienia poszczególnych ocen.

Elementy statystyki. Przyjmijmy, że xi = i dla... Skoro tak, to n1 = 2 (2 osoby dostały ndst), n2 = 7 (7 osób dostało dop)...

Odpowiedź

Średnia ocen ze sprawdzianu w tej klasie wynosi 3,08.

Zadanie 3

Pewien uczeń w I semestrze uzyskał z matematyki z prac pisemnych oceny: 3, 3, 3, natomiast z odpowiedzi: 5, 5. Oblicz średnią ocenę tego ucznia.

Rozwiązanie:

Średnia ocena z prac pisemnych równa jest 3, a z odpowiedzi ustnych 5. Średnią ze wszystkich ocen obliczymy ze wzoru:

Elementy statystyki. Wartość x1 wynosi 3, n1 = 3 (3 wystąpiło 3 razy).

Odpowiedź

Średnia ocena ucznia równa jest 3,8.

Zapamiętaj!

Dominantą (modą) nazywamy wartość występującą najczęściej.

Zadanie 4

Podaj dominantę z następujących liczb:

a) 7, -2, 4, 7, 0, 7, 4,

b) 1, 5, 6, 1, 6, 5, 2, 6, 5, 1, 6, 5, 2, 2, 1.

Rozwiązanie:

Ad a)

Najczęściej występuje liczba 7.

Ad b)

Liczba 1 2 5 6
Częstość występowania 4 3 4 4

Trzy liczby powtarzają się tak samo często, zatem są trzy dominanty. Są to: 1, 5 i 6.

Odpowiedź

W pierwszym przypadku dominantą jest liczba 7, w drugim natomiast są trzy dominanty: 1, 5 i 6.

Uwaga!

W niektórych przypadkach istnieje kilka dominant. Dominanta z ciągu złożonego z tej samej liczby jest równa tej liczbie.

Przykład 2

Dominantą z liczb 37, 37, 37, 37, 37 jest liczba 37.

Zapamiętajk!

Medianą (wartością środkową) ozn. me nazywamy tę wartość, która dzieli zbiór danych wartości na dwie części tak, że liczba danych, których wartości zmiennej są mniejsze od mediany, jest równa liczbie danych, których wartości zmiennej są większe od mediany.

Jeśli zbiór danych {x1, x2, ..., xn} jest uporządkowany niemalejąco, to:

Elementy statystyki. ... gdy n jest liczbą nieparzystą, ... gdy n jest liczbą parzystą.

Przykład 3

a) Podaj medianę z liczb: 2, 7, 12, 3, 9.

Elementy statystyki. Najpierw należy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Mamy: 2, 3, 7, 9, 12. Środkową wartość stanowi trzecia z uporządkowanych liczb - liczba 7.

Mediana równa jest 7.

b) Oblicz medianę z liczb: 7, 4, 6, 4, 7, 1, 9.

Elementy statystyki. Porządkujemy zbiór: 1, 4, 4, 6, 7, 7, 9...

Medianą jest czwarta w kolejności liczba 6.

c) Oblicz medianę z liczb 12, 6, 24, 18, 40, 8.

Elementy statystyki. Po uporządkowaniu liczb otrzymujemy: 6, 8, 12, 18, 24, 40. Liczba danych w tym przypadku jest parzysta.

Medianą jest liczba 15.

Zapamiętaj!

Rozstęp (ozn. R) jest to różnica między największą i najmniejszą z liczb. Jest to jedna z prostszych miar rozrzutu.

Elementy statystyki. Odchylenia od wartości średniej z liczb x1, x2, ..., xn obliczamy... wartość średnia, wartość bezwzględna z różnicy...

Odchylenie średnie (przeciętne) jest to średnia arytmetyczna odchyleń od wartości średniej.

Zadanie 5

Każdy z 6 zawodników podczas treningu oddał z pistoletu po 10 strzałów do tarczy. Po zsumowaniu punktów każdego zawodnika otrzymano następujące wyniki: 99, 96, 92, 98, 94, 97. Oblicz rozstęp wyników, średni wynik oraz odchylenie przeciętne.

Rozwiązanie:

Elementy statystyki. Uporządkujmy dane w kolejności rosnącej. Ułatwi nam to znalezienie najlepszego i najgorszego wyniku. Rozstęp. Obliczmy teraz średni wynik. Sumę wszystkich wyników dzielimy przez ich liczbę. Aby obliczyć odchylenie średnie, obliczmy najpierw odchylenia wyników od wyniku średniego. Obliczamy wartości bezwzględne z różnic wyniku poszczególnych zawodników i wyniku średniego. Odchylenie średnie wynosi zatem... Obliczamy średnią arytmetyczną odchyleń wartości średniej.

Odpowiedź

Rozstęp wyników wynosi 7, średni wynik jest równy 96, a odchylenie przeciętne to 2.

Zapamiętaj!

Elementy statystyki. Wariancja liczb... to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń liczb od ich średniej. Sigma.

Odchylenie standardowe (ozn. σ) jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Przykład 4

Wróćmy do zadania 5 i obliczmy wariancję wyników uzyskanych przez zawodników podczas treningu:

Elementy statystyki. Zatem odchylenie standardowe...

Uwaga!

Wariancję możemy obliczyć również ze wzoru:

Elementy statystyki. Wartość średnia kwadratów liczb... Kwadrat wartości średniej liczb... Zastosujmy wzór w obliczaniu wariancji wyników uzyskanych przez zawodników.

Zadanie 6

W tabeli zestawione zostały informacje dotyczące średnich ocen uzyskanych przez uczniów klas pierwszych ze sprawdzianu z matematyki. Oblicz średnią ocenę z tego sprawdzianu wszystkich uczniów klas pierwszych. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Elementy statystyki. Klasa, liczba uczniów, średnia ocena. Średnia ocen wszystkich uczniów jest średnią arytmetyczną ważoną średnich ocen z poszczególnych klas. Rozwiązanie.

Odpowiedź

Średnia ocena wszystkich pierwszoklasistów ze sprawdzianu z matematyki w przybliżeniu równa jest 3,02.

Zadanie 7

Właściciel sklepu może zamówić puszki z groszkiem konserwowym u dwóch różnych dostawców A i B. Poniższe tabelki przedstawiają wyniki badania masy produktu bez zalewy w 10 losowo wybranych puszkach od obydwu dostawców:

Dostawca A

Masa produktu bez zalewy (g) 120 130 135 140
Liczba puszek 1 4 2 3

Dostawca B

Masa produktu bez zalewy (g) 125 135 140 145
Liczba puszek 3 2 4 1

Oblicz rozstęp i wariancję mas produktu bez zalewy od dostawcy A i B. Oceń, u którego z dostawców powinien zamawiać towar właściciel sklepu.

Rozwiązanie:

Elementy statystyki. Obliczmy rozstęp mas produktu bez zalewy od dostawców; dostawca A, dostawca B. Obliczmy wariancję mas produktu bez zalewy od dostawcy A, w tym celu najpierw policzymy średnią mas... Średnia arytmetyczna. Obliczmy wariancję mas produktu bez zalewy od dostawcy B.

Odpowiedź

Rozstęp mas produktu bez zalewy od obu dostawców jest taki sam i wynosi 20. Wariancję mas produktu bez zalewy od dostawcy A wynosi 36, a od dostawcy B równa jest 50. Wynika z tego, że właściciel sklepu powinien wybrać dostawcę A.

Zadanie 8

Diagram przedstawia liczbę przedsiębiorstw w pewnej gminie, płacących podatek roczny w określonej wysokości. Oblicz:

a) średnią stawkę podatku rocznego przypadaj ącego na przedsiębiorstwa z tego zestawienia,

b) podatek dominujący,

c) wysokość podatku, którego nie przekracza połowa przedsiębiorstw,

d) rozstęp stawki podatkowej.

Elementy statystyki. Liczba przedsiębiorstw, wysokość stawki w tys. złotych.

Rozwiązanie:

Elementy statystyki. Z diagramu wynika, że wszystkich przedsiębiorstw jest 32. Obliczamy średnią arytmetyczną ważoną. Zatem... Odpowiedź. Średnia stawka podatkowa wynosi 178 125 zł. Podatek dominujący wynosi 250 tys. zł. Dominantą jest podatek w wysokości 250 tys. zł, gdyż powtarza się on najczęściej (12 spośród 32 firm płaci taki podatek). Podatek, którego nie przekracza połowa przedsiębiorstw jest medianą. Liczbą wartości jest liczba przedsiębiorstw, czyli 32. Z wykresu odczytujemy, że pierwsze 4 wartości to podatek w wysokości 50 tys. zł, następne kolejne 6 wartości, (x5 do x10), to podatek w wysokości 100 tys. zł, x11 = x12 = 150 tys. zł, wartości od x13 do x20 wynoszą 200 tys. zł, natomiast od x21 do x32 po 250 tys. zł. Podatek, którego nie przekroczyła połowa firm wynosi 200 000 zł. Rozstęp jest różnicą między najwyższą i najniższą stawką podatku. Rozstęp stawki podatkowej wynosi 200 000 zł.

Zadanie 9

Sporządź diagram kołowy przedstawiający dane dotyczące podatków płaconych przez przedsiębiorstwa, o których mowa jest w zadaniu 7.

Rozwiązanie:

Przed sporządzeniem diagramu, należy obliczyć, jaki procent wszystkich przedsiębiorstw stanowią grupy płacące poszczególne podatki.

Przedsiębiorstwa płacące podatek w wysokości:

Elementy statystyki. Liczba wszystkich przedsiębiorstw, o których mowa w tym zadaniu.

Zadanie 10

W pewnej klasie liczącej 20 uczniów zebrano dane dotyczące liczby godzin spędzanych dziennie, przez pojedynczego ucznia, przed komputerem. Uzyskano następujące dane (w godzinach):

3 3,5 4,5 4,5 5,5 4 3 4 4,5 1,5 3,5 4 2 2 1,5 3,5 4 3 3,5 5

a) Uporządkuj dane i przedstaw je w postaci histogramu liczebności.

b) Wyznacz średnią arytmetyczną i medianę.

c) Zbuduj szereg rozdzielczy i oblicz średnią ważoną.

d) Dane przedstaw w postaci diagramu kołowego.

e) Wyznacz wariancję i średnie odchylenie standardowe.

Rozwiązanie:

Ad a)

Dane uporządkowane:

1,5 1,5 2 2 3 3 3 3,5 3,5 3,5 3,5 4 4 4 4 4 4,5 4,5 4,5 5,5

Histogram liczebności: (rysunek)

Ad b)

Średnia arytmetyczna:

Elementy statystyki. Średnia arytmetyczna. Mediana.

Ad c)

Szereg rozdzielczy:

Elementy statystyki. Klasa, dane, środkowa liczba klasy, liczebność.

Ad d)

Diagram kołowy:

Elementy statystyki. Liczba godzin, liczebność, częstość, częstość w %

Ad e)

Wariancja:

Elementy statystyki. Średnie odchylenie standardowe.
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij