Jesteś tutaj: Matematyka » Gimnazjum » Bryły » Graniastosłupy

Graniastosłupy

Graniastosłup czworokątny (podstawa graniastosłupa jest czworokątem).

Graniastosłupy. Wierzchołek, podstawa, krawędź boczna (wysokość graniastosłupa), ściana boczna, krawędź podstawy, podstawa. Przekątna graniastosłupa, przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy, kąt między przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną, kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy.

Graniastosłup trójkątny (podstawa graniastosłupa jest trójkątem).

Graniastosłupy. H (wysokość graniastosłupa), podstawa.

Objętość graniastosłupa:

Graniastosłupy. Objętość, pole podstawy, wysokość.

Pole powierzchni całkowitej:

Graniastosłupy. Pole powierzchni całkowitej, pole podstawy, pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych).

Sześcian

Graniastosłupy. Przekątna sześcianu, objętość sześcianu, długość krawędzi sześcianu, pole powierzchni całkowitej, przekątna podstawy, przekątna sześcianu.

Zadanie 1

Graniastosłupy. Oblicz objętośc i pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości... prostopadłościanu o wymiarach... Rozwiązanie, dane, szukane. Objętość sześcianu wynosi... a pole powierzchni całkowitej... W podstawie prostopadłościanu jest prostokąt. Pole powierzchni całkowitej bryły. Pole powierzchni bocznej jest sumą pól wszystkich ścian bocznych (ściany boczne są prostokątami).

Odp.: Objętość prostopadłościanu wynosi 100 cm3, a pole powierzchni całkowitej 160 cm2.

Zadanie 2

Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości 64 cm3. Jaką długość ma jego przekątna?

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane. Podstawiam do wzoru na objętość. Przekątna sześcianu o krawędzi a. Długość krawędzi sześcianu wynosi 4 cm, a długość przekątnej...

Zadanie 3

Graniastosłupy. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej długości... Rozwiązanie, dane, szukane. Przekątna sześcianu. Długość krawędzi sześcianu, objętość sześcianu. Objętość sześcianu wynosi...

Zadanie 4

Graniastosłupy. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a = 10 cm i wysokości H = 75% a. Rozwiązanie, dane, szukane. Graniastosłup prawidłowy czworokątny w podstawie ma kwadrat.

Odp.: Objętość graniastosłupa wynosi 750 cm3.

Zadanie 5

Graniastosłupy. Oblicz objętość i długość przekątnej sześcianu, którego pole całkowite wynosi 600 cm2. Rozwiązanie, dane, szukane. Pole powierzchni całkowitej sześcianu (za Pc podstawiam 600 i obliczam a). Długość krawędzi sześcianu, objętość sześcianu, długość przekątnej sześcianu.

Długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości 10 cm można obliczyć również inaczej (w razie gdybyśmy zapomnieli wzór):

Graniastosłupy. Podstawa sześcianu (kwadrat). Przekątna kwadratu. Długość przekątnej sześcianu obliczę z twierdzenia Pitagorasa. Objętość sześcianu wynosi 1000 cm3, a jego przekątna ma długość ... cm.

Zadanie 6

Graniastosłupy. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości 3 cm. Przekątna ściany bocznej ma długość 5 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa oraz pole powierzchni całkowitej. Rozwiązanie, dane, szukane. Obliczam długość wysokości H graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa. Pole podstawy, objętość graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej (4 ściany boczne tego graniastosłupa są jednakowymi prostokątami). Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Odp.: Objętość graniastosłupa wynosi 36 cm3, a pole powierzchni 66 cm2.

Zadanie 7

Suma długości trzech krawędzi sześcianu wychodzących z jednego wierzchołka jest równa 12 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Graniastosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane. Długość krawędzi sześcianu. Objętość sześcianu. Pole powierzchni całkowitej sześcianu.

Odp.: Objętość sześcianu wynosi 64 cm3, a jego pole powierzchni 96 cm2.

Zadanie 8

Basen ma kształt prostopadłościanu, którego długość jest równa 20 m, a szerokość 15 m. Do basenu wlano 225 m3 wody. Oblicz wysokość wody w basenie.

Graniastosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawiam dane z zadania.

Odp.: Wysokość wody w basenie wynosi 75 cm.

Zadanie 9

Czy 15 litrów wody zmieści się w akwarium o wymiarach 20 cm x 1,6 dm x 3,5 dm?

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane.

Wymiary akwarium należy sprowadzić do jednakowych jednostek. Pytamy o litry, wygodnie jest więc wymiary akwarium podać w decymetrach, bo

Graniastosłupy. Tyle litrów wody pomieści akwarium.

Odp.: Nie zmieści się.

Zadanie 10

Graniastosłupy. Jedna puszka farby wystarcza na pomalowanie 4 m2 powierzchni. Ile puszek farby potrzeba na pomalowanie powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 2 m x 1 m x 4 m? Rozwiązanie, dane, szukane. Pole podstawy graniastosłupa (pole prostokąta). Pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest sumą pól ścian bocznych, które są prostokątami. Obliczam pole powierzchni całkowitej, podstawiając do wzoru. Taką powierzchnię mamy pomalować. Zużyjemy tyle puszek farby.

Odp.: Potrzeba 7 puszek farby.

Zadanie 11

Graniastosłupy. Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 50 cm x 40 cm x 30 cm. Ile dm2 szkła zuzyto na jego wykonanie? Akwarium wypełniono wodą do 2/3 jego wysokości. Ile litrów wody wlano? Rozwiązanie, dane, szukane.

Odp.: Wlano 40 l wody.

Zadanie 12

Do zbiornika w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 12 m x 8,25 m x 3 m nalano 74 250 l wody.

Oblicz:

a) ile litrów może pomieścić ten zbiornik

b) w ilu procentach został wykorzystany ten zbiornik.

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane, objętość prostopadłościanu. Objętość zbiornika (tyle m3 wody może pomieścić). Zamieniamy m3 na litry. W zbiorniku zmieści się 297 000 l wody. Tyle wody mieści zbiornik, tyle wody nalano. x - liczba procentów wykorzystania zbiornika.

Odp.: Zbiornik został wykorzystany w 25%.

Zadanie 13

W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4 cm, a krawędź boczna 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Pole trójkąta równobocznego o boku długości a. Pole podstawy graniastosłupa. Na pole powierzchni bocznej składa się suma pól 3 ścian bocznych, które są jednakowymi prostokątami (bo w podstawie jest trójkąt równoboczny). Wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Pole powierzchni tego graniastosłupa wynosi ..., a jego objętość ...

Zadanie 14

1 dm3 drewna waży 0,8 kg. Oblicz, ile waży deska dębowa o długości 2 m, szerokości 3 cm i grubości 6 cm.

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane. Najpierw wymiary deski sprowadzamy do jednakowych jednostek. Ponieważ podana jest waga 1 dm3 drewna, wygodnie jest wszystkie wymiary wyrazić w decymetrach. Obliczamy objętość deski. 1 dm3 drewna waży 0,8 kg, to 3,6 dm3 waży... Deska waży 2,88 kg.

Zadanie 15

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku 5 cm. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane. Pole trójkąta równobocznego o boku długości a. Bo jest to trójkąt prostokątny równoramienny (kąty przy podstawie mają równe miary). Zatem... Podstawiam dane i obliczam objętość. 3 ściany boczne tego graniastosłupa są jednakowymi prostokątami. Podstawiam do wzoru i obliczam pole powierzchni całkowitej. Wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Pole powierzchni graniastosłupa wynosi... a jego objętość...

Zadanie 16

Graniastosłupy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa parwidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy ma długość ... cm, a przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30 stopni. Rozwiązanie, dane, szukane.

Po wykonaniu rysunku bryły i naniesieniu danych dobrze jest wykonać rysunki pomocnicze podstawy oraz powstałego trójkąta prostokątnego.

podstawa graniastosłupa (kwadrat):

Graniastosłupy. Przekątna kwadratu o boku a. Długość przekątnej podstawy.

Wysokość H graniastosłupa obliczamy z powstałego trójkąta prostokątnego:

Graniastosłupy. Przypominam. Korzystam z trójkąta prostokątnego o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. II sposób obliczenia H z tw. Pitagorasa. Bo naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. Obliczam objętość graniastosłupa. Wyłączam liczbę 4 przed nawias. Pole powierzchni całkowitej jest równe ..., a objętość 12 cm3.

Zadanie 17

Graniastosłupy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 6 cm, a krawędź boczna ... cm. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawa graniastosłupa. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny, który można podzielić na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku a. Pole podstawy, pole trójkąta równobocznego. Objętość graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest sumą pól 6 jednakowych prostokątów (ścian bocznych). Objętość graniastosłupa wynosi 810 cm3, a pole powierzchni całkowitej...

Zadanie 18

Graniastosłupy. Pole przekroju przekątnego sześcianu jest równe... Oblicz objętość sześcianu.

Rozwiązanie:

Jeżeli graniastosłup przetniemy płaszczyzną przechodzącą przez dwie krawędzie boczne nie należące do jednej ściany, to otrzymamy czworokąt, który nazywamy przekrojem przekątnym graniastosłupa.

Graniastosłupy. Dane, szukane, przekrój przekątny sześcianu. Przekrój przekątny sześcianu jest prostokątem o bokach a, ... Przekątna kwadratu, pole przekroju. Długość krawędzi sześcianu. Objętość sześcianu.

Odp:. Objętość sześcianu wynosi 125 cm3.

Zadanie 19

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8 cm, a jeden z kątów ma 30°. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Graniastosłupy. Dane, szukane. Podstawa graniastosłupa. Do obliczenia długości przyprostokątnych a i b korzystamy z własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. A zatem trójkąt prostokątny, który jest w podstawie graniastosłupa, ma przyprostokątne długości...

Następnie obliczam długość wysokości graniastosłupa. W tym celu wykorzystuję dane dotyczące powierzchni bocznej.

Powierzchnia boczna graniastosłupa po rozwinięciu ma płaszczyznę:

Graniastosłupy. Bo powierzchnia boczna jest kwadratem. Wysokość graniastosłupa. Wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Powierzchnia boczna graniastosłupa to kwadrat o boku H (wyżej narysowany). Stosuję wzór skróconego mnożenia. Obliczam pole całkowite graniastosłupa. Objętość graniastosłupa wynosi ... cm3, a pole powierzchni ... cm2.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij