Jesteś tutaj: Matematyka » Gimnazjum » Bryły » Ostrosłupy

Ostrosłupy

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą jest dowolnym wielokątem (trójkątem, czworokątem, pięciokątem itd.), a pozostałe ściany są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłupy. Wierzchołek ostrosłupa, wysokość ostrosłupa, krawędź boczna, ściana boczna, wierzchołek podstawy, krawędź podstawy, spodek wysokości, podstawa. Wysokość ściany bocznej. Przekątne podstawy. Wysokość podstawy. Ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawą ostrosłupa jest kwadrat). Ostrosłup prawidłowy trójkątny (podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny).

Przypomnienie:

trójkąt równoboczny:

Ostrosłupy. Czworościan foremny - ostrosłup prawidłowy trójkątny, ktrego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

Kąty w ostrosłupach

Ostrosłupy. Ostrosłup prawidłowy czworokątny, ostrosłup prawidłowy trójkątny.

α - kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

β - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy (jest to kąt dwuścienny)

γ - kąt między krawędzią boczną a wysokością ostrosłupa

δ - kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej

α - czytamy: alfa

β - czytamy: beta

γ - czytamy: gamma

δ - czytamy: delta

Wzory

Ostrosłupy. Objętość ostrosłupa, pole podstawy, wysokość ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej, pole podstawy, pole powierzchni bocznej (suma pól powierzchni wszystkich ścian bocznych).

Zadanie 1

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a = 6 cm, wysokości ostrosłupa H = 4 cm i wysokości ściany bocznej h = 5 cm.

Ostrosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane. Objętość ostrosłupa. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Pole powierzchni bocznej jest sumą pól 4 ścian bocznych, które są jednakowymi trójkątami.

Odp.: Objętość ostrosłupa wynosi 48 cm3, a pole powierzchni 96 cm2.

Zadanie 2

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a = 4 cm i wysokości H = 6 cm.

Ostrosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. h obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Wysokość ściany bocznej. Obliczam pole powierzchni bocznej. Objętość ostrosłupa wynosi 32 cm3, a jego pole powierzchni... cm2.

Zadanie 3

Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, wiedząc, że pole podstawy jest równe 64 cm2, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy α = 30°.

Rozwiązanie:

Ostrosłupy. Dane, szukane. Ostrosłup prawidłowy czworokątny w podstawie ma kwadrat. Pole kwadratu. Długość krawędzi podstawy. Do obliczenia pola powierzchni bocznej trzeba znaleźć długość h z trójkąta. Bo przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30 stopni jest równa połowie przeciwprostokątnej. Z twierdzenia Pitagorasa. Usuwam niewymierność z mianownika. Pole powierzchni bocznej równe jest sumie pól 4 ścian bocznych. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa wynosi... cm2, a jego objętość... cm3.

Zadanie 4

Podstawą ostrosłupa jest romb. Wysokość rombu h = 9 cm, a kąt ostry rombu α = 60°. Oblicz objętość ostrosłupa, jeżeli jego wysokość jest dwa razy dłuższa od boku rombu.

Ostrosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane.

Podstawą ostrosłupa jest romb:

Ostrosłupy. Z tw. Pitagorasa. Długość boku rombu. Z treści zadania. Wysokość ostrosłupa. Pole rombu.

Odp.: Objętość ostrosłupa wynosi 648 cm3.

Zadanie 5

Ostrosłupy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną ostrosłupa i jego wysokością ma miarę 30 stopni. Krawędź podstawy ma długość... Oblicz objętość ostrosłupa. Rozwiązanie, dane. Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Przekątna podstawy (kwadratu). Bo przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30 stopni jest równa połowie przeciwprostokątnej. Z własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Lub z twierdzenia Pitagorasa. Objętość ostrosłupa wynosi...

Zadanie 6

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 72 cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeżeli wiesz, że krawędź podstawy i wysokość w tym ostrosłupie są tej samej długości.

Rozwiązanie:

Ostrosłupy. Dane, szukane. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Z twierdzenia Pitagorasa obliczam h. Długość wysokości ściany bocznej. Pole powierzchni całkowitej bryły. Pole podstawy, powierzchnia boczna to 4 trójkąty przystające. Wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi...

Zadanie 7

Ostrosłupy. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 27 cm2. Krawędź jego podstawy ma długość 3 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Obliczam pole powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna ostrosłupa jest sumą powierzchni 4 ścian bozcnych (4 przystających trójkątów równoramiennych). Podstawiam dane z zadania i obliczam h. Długość wysokości ściany bocznej (trójkąta równoramiennego). Obliczam H ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa. Długość wysokości ostrosłupa. Obliczam objętość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa wynosi...

Zadanie 8

Ostrosłupy. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość czworościanu foremnego o krawędzi 6 dm. Rozwiązanie, dane, szukane. Czworościan foremny - ostrosłup trójkątny, wszystkie krawędzie mają jednakową długość (w podstawie jest trójkąt równoboczny), ściany boczne są również przystającymi trójkątami równobocznymi. Podstawa ostrosłupa (czworościanu). Wysokość w trójkącie równobocznym o boku a. Wysokość trójkąta w podstawie ostrosłupa. Długość wysokości H ostrosłupa obliczę z twierdzenia Pitagorasa. Pole podstawy (pole trójkąta równobocznego boku a). Obliczam objętość czworościanu. Pole całkowite czworościanu jest sumą pól 4 przystających trójkątów równobocznych. Objętość czworościanu wynosi... dm3, a jego pole powierzchni... dm2.

Zadanie 9

Ostrosłupy. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość... Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeżeli ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Rozwiązanie, dane, szukane. Ostrosłup prawidłowy trójkątny (podstawa jest trójkątem równobocznym). Jest to trójkąt prostokątny równoramienny (kąty ostre mają równe miary). A zatem... Wysokość w trójkącie równobocznym. Wysokość trójkąta będącego podstawą ostrosłupa. Pole trójkąta równobocznego (pole podstawy ostrosłupa). Obliczam objętość ostrosłupa. Objętość ostrosłupa wynosi...

Zadanie 10

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 6 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Ostrosłupy. Dane, szukane. Podstawa ostrosłupa. Bo naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. Następnie obliczam wysokość ostrosłupa H z tw. Pitagorasa. Teraz obliczam objętość ostrosłupa. W podstawie jest trójkąt równoboczny. Objętość ostrosłupa wynosi... cm3.

Zadanie 11

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 12 cm.

Ostrosłupy. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawa ostrosłupa. Wysokość podstawy ostrosłupa (trójkąta równobocznego). Bo przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 stopni. Z tw. Pitagorasa obliczę H. Długość wysokości ostrosłupa. Pole trójkąta równobocznego (pole podstawy). Objętość ostrosłupa. Pole całkowite ostrosłupa. Pole powierzchni bocznej jest sumą pól 3 trójkątów (3 ścian bocznych). Objętość ostrosłupa wynosi... cm3, a jego pole powierzchni... cm2.

Zadanie 12

Ostrosłupy. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym promień okręgu opisanego na podstawie ma długość... cm, a wysokość ostrosłupa 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawa ostrosłupa. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. Wysokość trójkąta równobocznego (podstawiam do wzoru na R). Jeżeli za R podstawię... (patrz dane), to obliczę długość a (krawędź podstawy). Tyle wynosi krawędź podstawy ostrosłupa. Obliczam objętość ostrosłupa (w podstawie jest trójkąt równoboczny). Pamiętaj o skracaniu! Objętość ostrosłupa wynosi... cm3.

Zadanie 13

Ostrosłupy. Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe..., a stosunek krawędzi podstawy do wysokości ściany bocznej wynosi 1:2. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Ostrosłupy. Dane, szukane. To równanie nazywamy proporcją, rozwiązujemy je, mnożąc na krzyż. Bo podstawą jest trójkąt równoboczny. Pole powierzchni bocznej jest sumą pól 3 trójkątów. Po podstawieniu do wzoru na pole całkowite ostrosłupa. Z danych zadania tworzę układ równań, którego niewiadome to a i h (wielkości potrzebne do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa). Układ rozwiązuję metodą podstawiania (wstawiam do II równania w miejsce h liczbę 2a). W II równaniu wyłączam a2 przed nawias. W liczniku wyłączam przed nawias liczbę 4. Skracam... Obliczam pole powierzchni bocznej.

Odp.: Pole powierzchni bocznej wynosi 12 dm2.

Zadanie 14

Ostrosłupy. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu równym... cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rozwiązanie, dane, szukane. Podstawa ostrosłupa. Przekątna kwadratu. Przekrój ostrosłupa (trójkąt równoboczny). Pole trójkąta równobocznego o boku d (pole przekroju). Długość przekątnej kwadratu (podstawy ostrosłupa). Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości d. Jest to jednocześnie wysokość ostrosłupa. Pole kwadratu o przekątnej długości d (wzór rzadko używany, porównaj z wzorem na pole rombu). Obliczam objętość ostrosłupa, podstawiając dane do wzoru. Objętość ostrosłupa wynosi... cm3.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij