Podobieństwo figur

Figury, mające ten sam kształt, a różniące się co najwyżej wielkością, nazywamy figurami podobnymi.

Podobieństwo figur. Czytamy: figura F' jest podobna do figury F. Długości boków wielokąta F' są proporcjonalne do długości odpowiednich boków wielokąta F. Skala podobieństwa. Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa.

Dwa prostokąty są podobne, jeżeli stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta, czyli

Podobieństwo figur. Z tego wynika także...

Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w jednym trójkącie jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych w drugim trójkącie.

Podobieństwo figur.

Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym równym, to te trójkąty są podobne.

Zadanie 1

Sprawdź, czy prostokąty o podanych bokach są podobne:

Podobieństwo figur.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Sprawdzam, czy stosunek długości boków prostopadłych (a i b) jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków (c i d) drugiego prostokąta. Prostokąty są podobne. Postępuję podobnie jak w punkcie a). Aby sprawdzić, czy zachodzi równość, wygodnie jest pomnożyć na krzyż. Prostokąty te nie są podobne.

Zadanie 2

Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = 12 cm i |BC|= 9 cm oraz prostokąt A’B’C’D’ o wymiarach |B’C’| = 54 cm i |A’B’| = 72 cm.

Sprawdź, czy prostokąty są podobne. Oblicz skalę podobieństwa.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur.

Najpierw sprawdzam, czy prostokąty są podobne, czyli czy stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta.

Podobieństwo figur. W prostokącie ABCD biorę dłuższy bok do krótszego, w prostokącie A'B'C'D' muszę wziąć również dłuższy bok do krótszego (to oznacza odpowiednie boki). Prostokąty te są podobne.

Teraz obliczam skalę podobieństwa:

Podobieństwo figur.

Odp.: Skala podobieństwa wynosi 6.

Zadanie 3

Dane są prostokąty podobne ABCD oraz A’B’C’D’. Długość boku AB = 10cm, |BC| = 6 cm i |B’C’| = 8 cm. Oblicz długość boku A’B’.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur.

Prostokąty ABCD i A’B’C’D’ są podobne, a zatem:

Podobieństwo figur. Obliczam skalę podobieństwa. Prostokąty są podobne w skali k = 4/3.

Ponieważ prostokąty są podobne, to:

Podobieństwo figur. Przekształcam równanie, wyznaczając |A'B'|. Podstawiam dane. Długość boku A'B' wynosi 13 1/3 cm.

Zadanie 4

Obwód prostokąta ABCD jest równy 20 cm. Oblicz obwód prostokąta A’B’C’D’ podobnego do prostokąta ABCD w skali k = 3,5.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane. Prostokąty te są podobne. Stosunek obwodów figur podobnych równy jest skali podobieństwa. Podstawiam dane do równania.

Odp.: Obwód prostokąta A’B’C’D’ wynosi 70 cm.

Zadanie 5

Oblicz pole prostokąta A’B’C’D’ podobnego do prostokąta ABCD w skali k = 2, jeżeli |AB| = 5 cm, |BC| = 8 cm.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane. Prostokąty podobne. Ważne: stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa. Po przekształceniu poprzedniego równania. Pole prostokąta równe jest iloczynowi sąsiednich boków. Po podstawieniu danych.

Odp.: Pole prostokąta A’B’C’D’ wynosi 160 cm2.

Zadanie 6

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A’B’C’. Oblicz długość boku |A’C’|, jeżeli |AB| = 8 cm, |AC| = 5 cm, |A’B’| = 12 cm.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane. Trójkąty podobne. Z podobieństwa figur. Najpierw obliczam skalę podobieństwa tych trójkątów. Trójkąty te są podobne w skali k = 3/2. Z tego równania wyznaczam |A'C'|, mnożąc obie strony przez |AC|. Podstawiam dane do równania.

Odp.: Długość boku |A’C’| wynosi 7,5 cm.

Zadanie 7

Oblicz obwód trójkąta A’B’C’ podobnego do trójkąta ABC, jeżeli |AB| = 15 cm, |BC| = 8 cm, |AC| = 10 cm, |A’B’| = 5 cm.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane. Obliczam skalę podobieństwa. Stosunek obwodów figur podobnych równy jest skali podobieństwa.

Odp.: Obwód trójkąta A’B’C’ wynosi 11 cm.

Zadanie 8

Trójkąty ABC i A’B’C’ są podobne. Trójkąt ABC ma boki długości 30 cm, 45 cm i 60 cm. Obwód trójkąta A’B’C’ wynosi 18 cm. Oblicz długości boków trójkąta A’B’C’.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane.

Obliczam skalę podobieństwa:

Podobieństwo figur. Stosunek obwodów figur podobnych równy jest skali podobieństwa. Podstawiam dane z zadania. Skracam ułamek przez 9. Obie strony równania mnożę przez |AB|. Podstawiam dane.

Odp.: Długości boków trójkąta A’B’C’ wynoszą 4 cm, 6 cm, 8 cm.

Sprawdzam, czy obwód wynosi 18 cm.

Podobieństwo figur.

Zadanie 9

Podobieństwo figur. Trójkąt A'B'C', którego pole wynosi 30 cm2 jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 5/3. Oblicz pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Dane, szukane. Trójkąty podobne. Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa. Podstawiam dane z zadania. Mnożymy na krzyż. Pole trójkąta ABC wynosi 10 4/5 cm2.

Zadanie 10

Gdy Staszek stoi wieczorem 3 m od latarni, to rzuca cień, który ma 1 m. Staszek ma 1,8 m wzrostu. Jaka jest wysokość latarni?

Rozwiązanie:

Podobieństwo figur. Sytuację opisaną w zadaniu przedstawiamy na rysunku. Wysokość latarni, wysokość Staszka, długość cienia Staszka. Trójkąty podobne, bo kąt ostry alfa mają wspólny.

A zatem z podobieństwa trójkątów wynika:

Podobieństwo figur. Stosunek długości przyprostokątnych w jednym trójkącie jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych w drugim trójkącie.

Odp.: Wysokość latarni wynosi 7,2 m.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij