Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązywanie nierówności. x jest większe od y. x jest mniejsze od y. x jest większe lub równe y. x jest nie mniejsze od y. x jest mniejsze lub równe y. x jest nie większe od y. Nierówności ostre, nierówności nieostre (lub nierówności słabe).

Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiamy na osi liczbowej:

Rozwiązywanie nierówności.

Zwróć uwagę na kółeczka na osi liczbowej:

- puste w środku przy nierówności ostrej oznacza, że końcowy punkt nie należy do rozwiązania,

- zamalowane przy nierówności nieostrej (słabej) oznacza, że końcowy punkt należy do rozwiązania nierówności.

Przy rozwiązywaniu nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań (patrz reguły postępowania) z jednym wyjątkiem, a mianowicie:

Jeżeli mnożymy lub dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Rozwiąż nierówności i zaznacz ich zbiory rozwiązań na osi liczbowej:

Zadanie 1

Rozwiązywanie nierówności. Od obu stron nierówności odejmuję liczbę 2, praktycznie liczbę 2 przenosimy ze zmienionym znakiem na prawą stronę nierówności. Zbiór rozwiązań przedstawiamy na osi liczbowej. Licza -2 nie spełnia nierówności (kółeczko puste).

Odp.: Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od (-2).

Zadanie 2

Rozwiązywanie nierówności. Do obu stron nierówności dodaję liczbę 1. Ilustrujemy zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Odp.: Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze od (-1).

Zadanie 3

Rozwiązywanie nierówności. Od obu stron nierówności odejmuję liczbę 4. Obie strony nierówności dzielę przez 3.

Odp.: Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od 2.

Sprawdźmy:

Podstawmy za x liczbę np. 3:

Rozwiązywanie nierówności. Dla x = 3.

Zadanie 4

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy znak nierówności na przeciwny. Liczba -3 nie spełnia nierówności (kółeczko puste).

Odp.: Wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od (-3) spełniają nierówność.

Zadanie 5

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności dzielimy przez (-3), zmieniamy znak nierówności na przeciwny. Kółeczko puste, bo liczba 2 nie spełnia nierówności.

Odp.: Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od 2.

Zadanie 6

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności dzielę przez liczbę dodatnią, znak nierówności przepisuję. Liczba (-6) spełnia nierówność (kółeczko zamalowane).

Odp.: Nierówność spełniają wszystkie liczby większe od -6 oraz liczba -6.

Zadanie 7

Rozwiązywanie nierówności. Niewiadome przenoszę na lewą stronę nierówności, a wiadome na prawą (przenosząc zmień znak). Obie strony nierówności dzielę przez liczbę ujemną (zmień znak nierówności). Nierównośc słaba, liczba 2 spełnia tę nierówność (kółeczko zamalowane).

Odp.: Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od 2 i liczba 2.

Zadanie 8

Rozwiązywanie nierówności. Niewiadome przenosimy ze zmienionym znakiem na lewo, liczby na prawo. Nierównośc ostra, liczba 8 1/2 jej nie spełnia. Liczby większe od 8 1/2 spełniają nierwność.

Zadanie 9

Rozwiązywanie nierówności. Postępuję podobnie jak w zadaniu 8. Uwaga! zmień znak nierówności. Nierówność nieostra, liczba -5 też ją spełnia (kółeczko zamalowane).

Odp.: Rozwiązaniem nierówności jest liczba -5 oraz liczby większe od -5.

Zadanie 10

Rozwiązywanie nierówności. Rozwiązuję podobnie jak w poprzednich zadaniach. Nierówność spełniają wszystkie liczby mniejsze od 1 1/4 oraz liczba 1 1/4.

Zadanie 11

Rozwiązywanie nierówności. Opuszczam nawias, mnożąc każdy składnik sumy przez 2. Uwaga na znak nierówności. Nierówność słaba (kółeczko zamalowane).

Odp.: Nierówność spełniają wszystkie liczby mniejsze lub równe 2.

Zadanie 12

Rozwiązywanie nierówności. Opuszczam nawiasy. Redukuję wyrazy podobne. Obie strony nierówności dzielę przez 2. Nierówność ostra, liczba 7 jej nie spełnia.

Odp.: Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba większa od 7.

Zadanie 13

Rozwiązywanie nierówności. Usuwamy nawiasy. Przenoszę niewiadome na lewą stronę, wiadome na prawą (przy przenoszeniu zmieniam znak). Zmień znak nierówności. Nierówność nieostra, kółeczko zamalowane (liczba -3/4 należy do zbioru rozwiązań nierówności). Nierówność spełnia liczba -3/4 oraz wszystkie liczby od niej mniejsze.

Zadanie 14

Rozwiązywanie nierówności. Nierówności ułamkowe rozwiązujemy podobnie jak równania, tzn. mnożąc obie strony nierówności przez mianownik.

Odp.: Nierówność spełnia każda liczba większa od 2.

Zadanie 15

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności mnożę przez mianownik, otrzymaną nierówność łatwo już rozwiązać.

Odp.: Wszystkie liczby większe od 1 spełniają nierówność.

Zadanie 16

Rozwiązywanie nierówności. Uważaj! minus przed kreską ułamkową. Minus przed nawiasem, zmień znaki!

Odp.: Każda liczba rzeczywista mniejsza lub równa 5 spełnia nierówność.

Zadanie 17

Podaj wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność:

Rozwiązywanie nierówności.

Rozwiązanie:

Najpierw rozwiązujemy nierówność podobnie jak poprzednio:

Rozwiązywanie nierówności. Usuńmy kreskę ułamkową, w tym celu obie strony nierówności mnożymy przez mianownik. Minus przed nawiasem, zmień znaki. Zmień znak nierówności. Wszystkie liczby mniejsze od 2 2/5 spełniają nierówność. Przypomnienie: Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, ...

Odp.: Liczby naturalne, które spełniają nierówność to: 0, 1, 2.

Zadanie 18

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która spełnia nierówność:

Rozwiązywanie nierówności.

Rozwiązanie:

Rozwiązywanie nierówności. Najpierw rozwiążmy nierówność podobnie jak w zadaniu 17. Obie strony nierówności dzielimy przez liczbę ujemną, zmień znak nierówności. Rozwiązanie ilustrujemy na osi liczbowej i odczytujemy najmniejszą liczbę naturalną ze zbioru rozwiązań nierówności.

Odp.: Ta liczba to 1.

Zadanie 19

Podaj największą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówności:

Rozwiązywanie nierówności.

Rozwiązanie:

Rozwiążmy nierówność:

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik. Uważaj! minus przed kreską ułamkową. Zmieniamy znak nierówności. Nierówność nieostra, 10 2/3 ją spełnia, zatem kółeczko zamalowane.

Przypomnienie: liczby całkowite to: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Z ilustracji graficznej widać, że największa liczba całkowita, która nie spełnia tej nierówności to 10.

Odp.: Ta liczba to 10.

Zadanie 20

Podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która jest rozwiązaniem nierówności:

Rozwiązywanie nierówności.

Rozwiązanie:

Rozwiązywanie nierówności. Obie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik (w celu pozbycia się ułamka). Uwaga! na znak nierówności.

Z rozwiązania przedstawionego na osi liczbowej odszukujemy najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia nierówność.

Nietrudno zauważyć, że ta liczba to (-3).

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij