Jesteś tutaj: Matematyka » Gimnazjum » Bryły obrotowe » Stożek

Stożek

Stożkiem nazywamy figurę przestrzenną otrzymaną przez obrót trójkąta prostokątnego dokoła jednej z przyprostokątnych.

Stożek. Promień podstawy, tworząca stożka, wysokość stożka. Wierzchołek stożka, kąt rozwarcia, oś obrotu, podstawa stożka. Przekrój osiowy stożka.

α - kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy

Stożek. Pole podstawy stożka. Objętość stożka.

Siatka stożka:

Stożek. Powierzchnia boczna stożka (wycinek koła o promieniu l). Podstawa stożka. Pole podstawy stożka. Pole powierzchni bocznej stożka. Pole powierzchni całkowitej stożka. Objętość stożka.

Zadanie 1

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożków przedstawionych na rysunkach:

Stożek.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Objętość stożka. Do obliczenia pola powierzchni całkowitej muszę znać długość tworzącej stożka l. Obliczam ją z twierdzenia Pitagorasa. Długość tworzącej stożka. Teraz mogę już obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka. Wyłączam przed nawias 4. Objętość stożka wynosi..., a jego pole powierzchni... Z tw. Pitagorasa obliczam długość wysokości H. Wysokość stożka. Obliczam objętość stożka. Obliczam pole powierzchni całkowitej stożka. Objętość stożka wynosi..., a pole powierzchni... Długość wysokości stożka obliczam z tw. Pitagorasa. Długość wysokości stożka. Objętość stożka. Wyłączam liczbę 5 przed nawias. Objętość stożka wynosi..., a jego pole powierzchni...

Zadanie 2

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się raz dookoła przyprostokątnej 4 cm, a drugi raz dookoła przyprostokątnej 3 cm. Czy objętości powstałych stożków będą równe?

Rozwiązanie:

I przypadek: trójkąt obraca się dookoła dłuższej przyprostokątnej.

Stożek. Dane, szukane. Obliczam objętość powstałego stożka.

II przypadek: trójkąt obraca się wokół krótszej przyprostokątnej.

Stożek. Dane, szukane. Obliczam objętość powstałego stożka.

Odp.: Objętości powstałych stożków nie są równe.

Zadanie 3

Oblicz objętość stożka o tworzącej długości 16 cm i obwodzie podstawy 4π cm.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Podstawa stożka jest kołem o promieniu r, obwód koła. Obliczam długość promienia podstawy r. Długość wysokości stożka H obliczam z tw. Pitagorasa. Obliczam objętość stożka. Objętość stożka wynosi...

Zadanie 4

Stożek. Tworząca stożka o długości... jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. r = H, bo trójkąt. Jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (kąty w podstawie mają równe miary). Z tw. Pitagorasa. Bo r = H. Objętość walca wynosi...

Zadanie 5

Oblicz pole powierzchni stożków przedstawionych na rysunkach:

Stożek.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Z twierdzenia Pitagorasa. Długość tworzącej stożka. Obliczam pole powierzchni stożka.

Odp.: Pole powierzchni stożka wynosi 96π.

Stożek. Dane, szukane.

Odp.: Pole powierzchni stożka wynosi 60π.

Zadanie 6

Oblicz pole przekroju osiowego stożka wiedząc, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 60°, a promień podstawy stożka wynosi 4 cm.

Stożek. Rozwiązanie, dane, szukane. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, o kącie miedzy ramionami 60 stopni, kąty przy podstawie są równe i mająt też po 60 stopni, a zatem... Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Pole trójkąta równobocznego o boku długości l. Pole przekroju wynosi... cm2.

Zadanie 7

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku równym 6 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Przekrój osiowy stożka. l = 2r, bo trójkąt równoboczny. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości l. Obliczam pole powierzchni bocznej stożka. Objętość stożka wynosi... cm3, a pole powierzchni bocznej... cm2.

Zadanie 8

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 70π cm2, a jego pole powierzchni bocznej 45π cm2. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Obliczam pole podstawy stożka. Podstawa stożka jest kołem o promieniu r. Obliczam długość promienia podstawy. Z tego wzoru obliczę długość tworzącej stożka l. Z twierdzenia Pitagorasa obliczam H. Teraz mogę już obliczyć objętość stożka. Objętość stożka wynosi... cm3.

Zadanie 9

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem o obwodzie 36 cm, w którym ramię jest o 3 cm dłuższe od podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka.

Stożek. Rozwiązanie, dane, szukane. Przekrój osiowy stożka. Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków. Długość promienia podstawy. Z tw. Pitagorasa obliczam H.

Odp.: Objętość stożka wynosi 100π cm3, a pole powierzchni 90π cm2.

Zadanie 10

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu r1 = 6 cm i kącie środkowym 120°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Rozwiązanie:

Stożek. Dane, szukane. Powierzchnia boczna stożka (wycinek koła o promieniu r1 = 6 cm). Zauważ, że powierzchnia boczna stożka (wycinek koła) to 1/3 koła o promieniu r1 = 6 cm (bo 360 stopni : 120 stopni = 3). Bo to tworząca stożka. Obliczam promień podstawy stożka. Z tw. Pitagorasa obliczam H. Długość wysokości stożka. Objętość stożka wynosi... cm3, a jego pole powierzchni... cm2.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij