Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej
Jesteś tutaj: Matematyka » Gimnazjum » Bryły obrotowe » Walec

Walec

Walcem nazywamy figurę przestrzenną powstałą przez obrót prostokąta dookoła jednego z boków.

Walec. Podstawa górna. Oś obrotu. Podstawa dolna. Objętość walca. Promień podstawy. Wysokość walca.

Przekrój osiowy walca:

Walec.

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 2r x H:

Walec. Przekątna przekroju osiowego walca. Kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy.

Siatka walca:

Walec. Powierzchnia boczna walca. Pole powierzchni całkowitej. Pole podstawy walca. Pole powierzchni bocznej. Pole powierzchni całkowitej walca.

Zadanie 1

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca, którego promień podstawy r = 5 cm, a wysokość walca H = 10 cm.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Podstawiam dane z zadania do wzoru i obliczam objętość walca. Obliczam pole powierzchni całkowitej walca.

Odp.: Objętość walca jest równa 250π cm3, a jego pole powierzchni 150π cm2.

Zadanie 2

Oblicz pole przekroju osiowego walca otrzymanego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 10 cm x 6 cm wokół dłuższego boku.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Przekrój osiowy walca. Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach 2r x H.

Odp.: Pole przekroju wynosi 120 cm2.

Zadanie 3

Walec. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość ... cm i tworzy z płaszczyzną podstawowy kąt o mierze 45 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego walca.

Rozwiązanie

Walec. Dane, szukane. Przekrój osiowy walca. Trójkąt prostokątny równoramienny (bo kąty ostre mają równe miary). Z tw. Pitagorasa. Bo 2r = H, podstawiam za d.

Odp.: Objętość walca wynosi 128π cm3, a pole powierzchni 96π cm2.

Zadanie 4

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 10 cm, a promień podstawy 3 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego walca.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. H obliczę z tw. Pitagorasa. Przekrój osiowy walca. Pole powierzchni bocznej.

Odp.: Objętość walca wynosi 72π cm3, a pole powierzchni bocznej 48π cm2.

Zadanie 5

Beczka ma kształt walca o wysokości 1,2 m i promieniu podstawy 50 cm. Ile litrów farby zmieści się w 5 takich beczkach?

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Pytamy o litry, wygodnie jest więc wymiary beczki zamienić na dm, bo 1 l = 1 dm3. Tyle farby zmieści się w beczce. W 5 beczkach zmieści się 5 razy więcej. Tyle farby zmieści się w 5 beczkach.

Odp.: W 5 beczkach zmieści się około 4710 l farby.

Zadanie 6

Średnica dna puszki w kształcie walca jest równa 10 cm, a pojemność puszki 1 litr. Oblicz wysokość tej puszki.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. A zatem wygodnie jest wymiary puszki zamienić na dm. 1 dm = 10 cm. Podstawiam do wzoru dane z zadania.

Odp.: Wysokość puszki wynosi około 12,7 cm.

Zadanie 7

Prostokątny arkusz blachy o wymiarach 20 cm x 40 cm można zwinąć w dwojaki sposób, otrzymując powierzchnię boczną walca. W którym przypadku walec będzie miał większą objętość?

Rozwiązanie:

Walec. I przypadek. Dane, szukane. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem o wymiarach... Z tego wynika, że H = 20 cm... Obliczam r. Objętość otrzymanego walca. II przypadek. Powierzchnia boczna walca. Obliczam długość promienia r.

Odp.: Walec będzie miał większą objętość w I przypadku.

Zadanie 8

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem o wymiarach 10π cm i 20 cm. Krótszy bok prostokąta i wysokość walca mają równe długości. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Powierzchnia boczna walca (prostokąt o wymiarach...). Obliczam r. Objętość walca. Obliczam pole powierzchni całkowitej walca.

Odp.: Objętość walca wynosi 500π cm3, a jego pole powierzchni całkowitej 250π cm2.

Zadanie 9

Powierzchnia boczna walca po rozcięciu jest kwadratem o boku 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Powierzchnia boczna walca. Wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Pole powierzchni całkowitej walca wynosi ... cm2.

Zadanie 10

Oblicz pole powierzchni bocznej walca otrzymanego w wyniku obrotu kwadratu o boku długości 6 cm wokół boku.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Pole powierzchni bocznej walca.

Odp.: Pole powierzchni bocznej walca wynosi 72π cm2.

Zadanie 11

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Przekrój osiowy walca. Przekątna kwadratu o boku a. Obliczam długość boku a. Usuwam niewymierność z mianownika. Patrz rysunek. Po podstawieniu do powyższego równania. Długość promienia podstawy walca. Wysokość walca.

Odp.: Pole powierzchni całkowitej walca wynosi 48π cm2.

Zadanie 12

Oblicz stosunek powierzchni bocznej walca do powierzchni przekroju osiowego tego walca.

Rozwiązanie:

Walec. Powierzchnia boczna walca. Przekrój osiowy walca. Szukane. Pole powierzchni bocznej (pole prostokąta o wymiarach...). Pole przekroju osiowego walca (pole prostokąta o wymiarach 2r x H). Skracam ułamek.

Odp.: Stosunek powierzchni bocznej walca do powierzchni przekroju osiowego wynosi π.

Zadanie 13

W walcu, którego pole powierzchni wynosi 72 cm2, promień podstawy jest 3 razy mniejszy od wysokości. Oblicz długość promienia i długość wysokości.

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Do wzoru na pole powierzchni całkowitej walca podstawiam dane z zadania i obliczam długość promienia r. Długość promienia podstawy. Podstawiam za r. Długość promienia wynosi... cm, a wysokość... cm.

Zadanie 14

Do menzurki o średnicy 4 cm nalano wody do wysokości 9 cm. Następnie wodę przelano do menzurki o średnicy 6 cm. Na jaką wysokość sięgnęła woda w szerszej menzurce?

Rozwiązanie:

Walec. Dane, szukane. Obliczam objętość I menzurki (ile wody wlano do I menzurki). Tyle wody wlano do I menzurki. Bo wodę z I menzurki przelewamy do II menzurki. Obliczam H2 (tzn. wysokość, na jaką sięgnie przelana woda do II menzurki).

Odp.: Woda sięgnęła na wysokość 4 cm.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij