Koło i okrąg, Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Okręgiem o środku S i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od środka S są równe r.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Równanie okręgu o środku S i promieniu r.

Kołem o środku S i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od środka koła są mniejsze lub równe r.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Nierówność opisująca koło o środku w punkcie S i promieniu r.

Inne równanie okręgu

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Często liczba a2 + b2 - r2 jest oznaczona c, stąd... Jeżeli... to istnieje okrąg o powyższym równaniu. Jeżeli... to taki okrąg nie istnieje.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg, jeśli sumy przeciwległych kątów tego czworokąta są równe.

Na czworokącie wypukłym można opisać okrąg, jeśli sumy przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

Zadanie 1

Na trójkącie równoramiennym ABC opisano okrąg o środku O. Wiadomo, że AC = BC, a miara kąta przy wierzchołku C wynosi 30°. Na łuku AC tego okręgu obrano punkt D, otrzymując czworokąt ABCD.

a) Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku D czworokąta.

b) Wyznacz miarę kąta BOC.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, zatem sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe 180 st. Teraz wystarczy znaleźć miarę kąta przy wierzchołku B. Zatem kąt przy wierzchołku D ma miarę... Kąt BOC jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt wpisany BAC. Kąt BAC ma miarę równą 75 stopni (poprzedni podpunkt). Stąd wynika, że kąt BOC jest dwa razy większy i ma miarę równą 150 st.

Zadanie 2

Na okręgu o promieniu 2 cm opisano trapez prostokątny, w którym miara kąta ostrego wynosi 60°. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek.  Długość boku AD jest równa długości odcinka CE i wynosi 4 cm. Rozważamy trójkąt prostokątny BDC. Obliczona długość boku BC zostanie wykorzystana do obliczenia pola trapezu. Jest to trapez opisany na okręgu, zatem... Obliczamy pole trapezu. Obliczamy obwód trapezu, wykorzystując zależność...

Zadanie 3

W trapez równoramienny o kącie ostrym 60° wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu i wynosi 4 cm. Jest to trapez opisany na okręgu, więc suma podstaw jest równa sumie długości boków nierównoległych. Długość takiego boku obliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym... Obliczamy obwód... Obliczamy pole...

Zadanie 4

W trapezie równoramiennym opisanym na okręgu suma długości podstaw jest równa 8 cm. Kąt ostry ma miarę 30°. Oblicz pole tego trapezu i obwód koła wpisanego w ten trapez.

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Skoro suma długości podstaw jest równa 8 cm, to ponieważ jest to trapez opisany na okręgu, suma długości ramion też jest równa 8 cm. Obliczamy obwód koła. Obliczamy pole trapezu.

Zadanie 5

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. W trapezie równoramiennym przekątna ma długość 7 cm, a ramię długość 5 cm. Stosunek długości wysokości trapezu do ramienia wynosi... Oblicz pole trapezu i długość promienia okręgu opisanego na trapezie. Rozwiązanie. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Obliczamy długość wysokości... Obliczamy po kolei długości odcinków potrzebnych do obliczenia pola trapezu, korzystając z treści zadania. Zauważmy, że stosunek długości wysokości trapezu do długości ramienia jest sinusem kąta ostrego trapezu, zatem wnioskujemy, że... Obliczamy długość odcinka AE. Następnie obliczamy długość odcinka EB... Teraz obliczamy długości podstaw trapezu. Obliczamy pole trapezu. Okrąg opisany na tym trapezie jest równocześnie okręgiem opisanym na trójkącie ABD. Zatem aby obliczyć promień tego okręgu korzystamy z twierdzenia sinusów.

Zadanie 6

W trapez równoramienny, którego podstawy różnią się o 6 cm, wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz długość przekątnej trapezu.

Rozwiązanie:

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek. p - długość przekątnej trapezu ABCD. l - długość ramienia trapezu ABCD. Podstawy różnią się o 6 cm, zatem... Odcinek AE ma długość... Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, zatem... Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AED. Tworzymy układ równań i obliczamy długości podstaw. Długości podstaw są równe... Długość przekątnej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EBD.

Zadanie 7

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz:

a) Pole koła opisanego na tym trójkącie.

b) Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt.

c) Długość wysokości poprowadzonej z wierzchoka kąta prostego.

Rozwiązanie:

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Promień kota opisanego na trójkącie prostokątnym jest połową przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zatem obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Obliczamy pole koła opisanego na tym trójkącie. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Korzystamy z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu i zapisujemy równość... Obliczamy obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt. Aby obliczyć długość tej wysokości porównamy pola trójkąta.

Zadanie 8

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka trójkąta zakreślono koło o promieniu 2 cm. Oblicz pole wyciętej z tego trójkąta figury przez zakreślone koła.

Rozwiązanie:

Koło i okrąg, czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Sporządzamy pomocniczy rysunek. Aby obliczyć pole zacieniowanej figury należy obliczyć pole wycinka kołowego o promieniu 2 cm i kącie środkowym o mierze 60 st. Pole tej figury jest równe...

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij