Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej
Jesteś tutaj: Matematyka » Liceum » Kombinatoryka » Kombinacje

Kombinacje

Zapamiętaj!

Kombinacje. Symbol... nazywamy symbolem Newtona lub współczynnikiem dwumianowym. Obliczamy go według wzoru...

Zadanie 1

Oblicz:

Kombinacje.

Rozwiązanie:

Kombinacje. Skracamy licznik i mianownik przez 4!

Odpowiedź

Kombinacje.Kombinacje. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru.

Zapamiętaj!

Z k-elementowymi kombinacjami n-elementowego zbioru mamy do czynienia wtedy, gdy z elementów danego zbioru wybieramy po k elementów bez zwracania i tworzymy z nich zbiór (nie ciąg), tzn. kolejność elementów nie ma znaczenia.

Zadanie 2

W urnie znajdują się 4 kule: biała, czarna, niebieska i zielona. Losujemy bez zwracania 2 kule. Ile możemy otrzymać różnych wyników losowania?

Rozwiązanie:

Kombinacje. Oznaczmy przez b, c, n oraz z wynik wylosowania odpowiednio kuli białej, czarnej, niebieskiej, zielonej. Nie ważne jest, czy najpierw wylosujemy kulę białą, a potem czarną, czy też odwrotnie, bo i tak mamy te same dwie kule.

Kolejność wylosowanych kul nie ma znaczenia.

Zatem do zapisywania wyniku takiego losowania nie możemy zastosować ciągów. Wyniki losowania traktujemy jako 2-elementowe podzbiory zbioru {b, c, n, z}. Wypiszmy zatem wszystkie możliwe:

{b, c}, {b, n}, {b, z}, {c, n}, {c, z}, {n, z}.

Odpowiedź

Losowanie opisane w zadaniu może zakończyć się 6 różnymi wynikami.

Zadanie 3

W urnie znajduje się 20 kul ponumerowanych od 1 do 20. Losujemy bez zwracania 3 kule. Ile jest możliwości wylosowania wszystkich 3 kul o numerze, będącym liczbą parzystą?

Rozwiązanie:

Wśród liczb od 1 do 20 jest 10 parzystych.

Gdyby kolejność wylosowanych kul była ważna, wszystkich możliwych wyników losowania byłoby:

Kombinacje. Możliwości byłoby tyle, ile 3-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 10-elementowego. Skracamy licznik i mianownik przez 7! Jednak w tym przypadku kolejność nie ma znaczenia. Skoro tak, to wyniki losowania... Czy najpierw wylosujemy kulę z numerem 2, potem 4, a na końcu 10, czy też najpierw z numerem 1 0, potem 4 i na końcu 2, to i tak mamy te same trzy liczby. ...traktujemy jako identyczne. Zatem mamy do czynienia z 3-elementowymi kombinacjami zbioru 10-elementowego i jest ich 6-krotnie mniej, niż 3-wyrazowych wariacji tego samego zbioru, czyli... Każdy 3-elementowy zbiór można uporządkować na 6 sposobów, bo...

Odpowiedź

Wszystkich możliwości wylosowania 3 kul o numerach będących liczbami parzystymi spośród kul ponumerowanych od 1 do 20 jest 120.

Kombinacje. Twierdzenie. Liczba k-elementowych kombinacji n-elementowgo zbioru wyraża się wzorem...

Zadanie 4

Oblicz;

Kombinacje.

Rozwiązanie:

Kombinacje. Skracamy licznik i mianownik przez 5! Przypominamy, że 0! = 1. Licznik i mianownik pierwszego wyrażenia skracamy przez 16!, drugiego natomiast przez 19! Odpowiedź... wniosek...

Zadanie 5

Ile jest wszystkich odcinków łączących wierzchołki ośmiokąta wypukłego?

Rozwiązanie:

Są to 2-elementowe kombinacje zbioru 8-elementowego i jest ich:

Kombinacje. Wybieramy po dwa wierzchołki spośród 8. Kolejność punktów nie ma znaczenia, gdyż AB i BA to ten sam odcinek.

Odpowiedź

Wszystkich odcinków jest 28.

Zadanie 6

W klasie jest 24 uczniów, w tym 10 dziewcząt. Na ile sposobów można wybrać 2-osobową delegację złożoną z uczennicy i ucznia?

Kombinacje. Rozwiązanie: Wszystkich możliwych delegacji jest... Wybieramy jedną uczennicę z 10, co jest możliwe na... sposobów oraz jednego ucznia z 14, co jest możliwe na... sposobów. Kolejność wybierania uczniów wchodzących w skład delegacji nie ma znaczenia.

Odpowiedź

Delegację tej klasy złożoną z uczennicy i ucznia można wybrać na 140 sposobów.

Zadanie 7

Ile nastąpi uścisków dłoni, gdy spotka się 10-osobowa grupa znajomych, zakładając, że wita się każdy z każdym?

Rozwiązanie:

Są to 2-elementowe kombinacje zbioru 10-elementowego i jest ich:

Kombinacje. Kolejność, w której witają się osoby, nie ma znaczenia, gdyż czy osoba A uściśnie dłoń osoby B, czy odwrotnie, jest to ten sam uścisk dłoni.

Odpowiedź

Przy powitaniu nastąpi 45 uścisków dłoni.

Zadanie 8

Z talii liczącej 52 karty losujemy bez zwracania pięć kart. Ile istnieje możliwych wyników losowania, w których otrzymamy dokładnie dwa kiery?

Rozwiązanie:

W talii 52 kart są 4 kolory (trefl, karo, kier, pik) po 13 kart w każdym. Kolejność wylosowanych kart nie ma znaczenia. Zatem wszystkich możliwości mamy:

Kombinacje. Losujemy 2 kiery z 13, co jest możliwe na... sposobów i trzy karty spośród 39 nie będących kierami, co jest możliwe na... sposobów. Licznik i mianownik pierwszego wyrażenia skracamy przez 11!, drugiego natomiast przez 36!

Odpowiedź

Możliwych wyników losowania 5 kart z talii, tak aby 2 z nich były kierami jest 712 842.

Zadanie 9

W urnie znajduje się 10 kul białych i 6 czarnych. Losujemy bez zwracania 4 kule. Ile jest możliwych wyników losowania, w których dokładnie trzy kule będą tego samego koloru?

Rozwiązanie:

Możliwe są dwa przypadki: trzy kule będą białe i jedna czarna lub trzy czarne i jedna biała.

W pierwszym przypadku możliwości mamy:

Kombinacje. Musimy wylosować 3 kule białe z 10, co jest możliwe na... sposobów i jedną czarną z 6, co jest możliwe na 6 sposobów. W drugim przypadku możliwości mamy... Podsumujmy liczbę wszystkich możliwości w obu przypadkach.

Odpowiedź

Wszystkich sposobów wylosowania czterech kul, wśród których trzy będą jednego koloru, jest w tym przypadku 920.

Zadanie 10

Spośród 50 losów pewnej loterii fantowej tylko 10 jest wygrywających. Na ile sposobów można wybrać 4 losy tak, aby co najmniej jeden z nich był wygrywający?

Rozwiązanie:

Co najmniej jeden z czterech możliwych tzn. jeden, dwa, trzy lub cztery. Rozpatrzmy 4 przypadki:

a) jeden z 4 wylosowanych losów jest wygrywający, wówczas możliwości mamy:

Kombinacje. Musimy wylosować jeden los wygrywający z 10, co jest możliwe na... sposobów i trzy z 40 (bez nagród), co jest możliwe na... sposobów.

b) dwa z 4 wylosowanych losów są wygrywające, wówczas możliwości mamy:

Kombinacje. Musimy wylosować 2 losy wygrywające z 10, co jest możliwe na... sposobów i dwa z 40 (bez nagród), co jest możliwe na... sposobów.

b) trzy z 4 wylosowanych losów są wygrywające, wówczas możliwości mamy:

Kombinacje. Musimy wylosować 3 losy wygrywające z 10, co jest możliwe na... sposobów i jeden z 40 (bez nagród), co jest możliwe na... sposobów.

b) wszystkie 4 wylosowane losy są wygrywające, wówczas możliwości mamy:

Kombinacje. Musimy wylosować 4 losy wygrywające z 10, co jest możliwe na... sposobów i żadnego z 40 (bez nagród), co jest możliwe na... sposobów.

Podsumujmy liczbę możliwości wynikającą z wszystkich przypadków:

Kombinacje.

Odpowiedź

Wszystkich sposobów wylosowania 4 losów w tej loterii tak, aby co najmniej jeden z nich był wygrywający, jest 138 910.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij