Objętość i pole powierzchni graniastosłupa

Objętość dowolnego graniastosłupa jest opisana wzorem:

Ostrosłupy. Pole podstawy graniastosłupa, długość wysokości graniastosłupa, objętość.

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa Pc dane jest wzorem:

Ostrosłupy. Pole podstawy graniastosłupa, pole powierzchni bocznej graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej.

Przejdźmy teraz od teorii do praktyki. Rozwiążmy kilka zadań, obliczając pole powierzchni całkowitej i objętość danego graniastosłupa.

Zadanie 1

Pole powierzchni sześcianu jest równe 36 cm2. Oblicz jego objętość.

Ostrosłupy. Ponieważ mamy do czynienia z sześcianem, w którym podstawą jest kwadrat o boku długości a i ściany boczne są również kwadratami o boku długości a. Zatem wzór na objętość sześcianu po odpowiednim zmodyfikowaniu ma postać... Skoro długość boku sześcianu wynosi... to jego objętość wynosi...

Zadanie 2

Ostrosłupy. Długość przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 8 cm, a długość przekątnej podstawy ... cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zacznijmy zadanie od rysunku poglądowego naszego graniastosłupa. Wprowadźmy na nim odpowiednie oznaczenia, którymi będziemy się posługiwać w dalszej części zadania przy obliczeniach objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. Ponieważ mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, to w podstawie mamy kwadrat o boku a, zaś ściany boczne są identycznymi prostokątami o bokach a i h. Przekątna kwadratu ma długość odcinka... Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ACC', w którym AC = x , natomiast AC' = d. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczmy długość odcinka CC' = h. Wstawimy dane do wzoru na objętość graniastosłupa i otrzymujemy... Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. Wstawiamy do wzoru na ... i otrzymujemy... Odpowiedź: Objętość graniastosłupa wynosi ...,natomiast pole powierzchni całkowitej...

Zadanie 3

Ostrosłupy. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 11 cm. Zacznijmy ponownie zadanie od narysowania tego graniastosłupa i wprowadzenia na nim odpowiednich oznaczeń. Podstawą tego graniastosłupa prostego jest romb, zatem ściany boczne będą przystającymi prostokątami. Przypomnijmy, że pole rombu można obliczyć ze wzoru ..., gdzie m i n to długości przekątnych rombu. Zatem po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy... Teraz do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy długości podstawy rombu. Wiemy jednocześnie, że przekątne w rombie połowią się i przecinają pod kątem prostym. Rozważmy trójkąt prostokątny SBC. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy... Rozważmy teraz trójkąt prostokątny BCC w ścianie bocznej, będącej prostokątem o wymiarach a i h. Skorzystajmy po raz drugi z tw. Pitagorasa w trójkącie BCC. Podstawiamy dane do równania i otrzymujemy... Mając wszystkie potrzebne długości, obliczymy pole powierzchni bocznej i wstawimy do wzoru na pole powierzchni całkowitej. Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej naszego graniastosłupa prostego o podstawie rombu wynosi...

Teraz rozwiążemy kilka zadań o trochę wyższym stopniu trudności.

Zadanie 4

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość d i tworzy z przekątną podstawy poprowadzoną z tego samego wierzchołka kąt o mierze α. Wyznacz objętość graniastosłupa.

Ostrosłupy. Rozważmy trójkąt ACD' , który jest trójkątem równoramiennym i AD'=CD'=d, gdzie d jest przekątną ściany bocznej. Wysokość SD' dzieli bok AC na pót. Odcinek AC jest przekątną podstawy, czyli kwadratu o boku długości a. W ten sposób możemy już obliczyć pole podstawy. Teraz obliczamy wysokość graniastosłupa, korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym DCD'. Podstawiamy obliczone a z równania (*) i otrzymujemy... Zatem, po podstawieniu wszystkich danych do wzoru na objętość graniastosłupa, otrzymujemy następujący rezultat... Odpowiedź: Objętość graniastosłupa wynosi...

Zadanie 5

Przekątne sąsiednich ścian poprowadzone z jednego wierzchołka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzą kąt o mierze 2α. Oblicz objętość graniastosłupa, jeżeli wiesz, że długość krawędzi jego podstawy jest równa a.

Ostrosłupy. Ponieważ w zadaniu mamy graniastosłup prawidłowy trójkątny, to zgodnie z def. jest to graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny. Długość krawędzi podstawy jest dana i wynosi a. Wzór na pole trójkąta równobocznego o danym boku a wynosi... Rozważmy teraz trójkąt ABC, który jest trójkątem równoramiennym o kącie między ramionami 2a.Wysokość h poprowadzona z wierzchołka C dzieli ten kąt na pół oraz dzieli na pół bok a. Korzystamy z tw. Pitagorasa do trójkąta i otrzymujemy... Zatem po końcowych przekształceniach otrzymujemy... Wstawiamy do wzoru na objętość graniastosłupa.

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij