Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa

Objętość dowolnego ostrosłupa wyraża się wzorem:

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Pole podstawy, długość wysokości ostrosłupa, objętość ostrosłupa.

Pole powierzchni całkowitej wyraża się wzorem:

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Pole podstawy, pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych).

Każdą z dwóch części przestrzeni wyznaczonych przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi l, wraz z tymi półpłaszczyznami, nazywamy kątem dwuściennym.

Miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę kąta płaskiego α, będącego wspólną częścią kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa.

Zapoznajmy się z nazewnictwem niektórych kątów występujących w ostrosłupach.

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy. Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa.

Przejdźmy teraz do rozwiązania kilku podstawowych i kilku trudniejszych zadań.

Zadanie 1

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym krawędź podstawy ma długość a = 4cm. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Zadanie zaczniemy od narysowania ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wprowadzenia oznaczeń na tym rysunku. Ponieważ mamy do czynienia z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, to zgodnie z jego def. w podstawie jest kwadrat o boku długości... Stąd pole podstawy wynosi... Pozostaje nam obliczyć długość wysokości H tego ostrosłupa. Rozważmy trójkąt S'AS, w którym znany jest kąt a, oraz bok... Odcinek AS' jest połową przekątnej w kwadracie. Zatem objętość ostrosłupa wynosi... Teraz obliczymy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, wystarczy obliczyć pole jednej ściany bocznej, a następnie wynik przemnożyć przez cztery. Wynika to z def. ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (ściany boczne są trójkątami przystającymi). Obliczmy najpierw długość krawędzi bocznej AS = b, korzystając z trójkąta prostokątnego S'AS. Rozważmy teraz np.: trójkąt ABS, będący jedną ze ścian bocznych tego ostrosłupa. Korzystając z tw. Pitagorasa, obliczamy wysokość h trójkąta ABS , a następnie jego pole. Zatem pole powierzchni całkowitej wynosi... Możemy również wysokość h ściany bocznej obliczyć zdecydowanie prościej. Korzystamy z tw. Pitagorasa. Rozważmy ty razem trójkąt... Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi... a pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi...

Zadanie 2

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy 6 cm, krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Tym razem w podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny o boku długości a = 6 cm, którego pole wyraża się wzorem... Zauważmy, że spodek wysokości (punkt S') jest jednocześnie punktem przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym, które to wysokości przecinają się w stosunku 2:1. Zatem odcinek... gdzie h jest wysokością trójkąta równobocznego wyrażona wzorem... Rozważmy trójkąt ASS. Podstawiamy obliczone dane do wzoru na objętość ostrosłupa i otrzymujemy...

Odpowiedź

Szukana objętość ostrosłupa wynosi V = 18 cm3.

Zadanie 3

Wyznaczyć objętość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego, wiedząc, że pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu S.

Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. W podstawie mamy kwadrat o boku a, zatem przekątna AC tego kwadratu ma długość... Pole przekroju ostrosłupa jest trójkątem równobocznym ACE o danym polu S. Wzór na pole trójkąta równobocznego już znamy z zadań wcześniejszych. Porównujemy te dwa wzory i obliczamy długość a podstawy ostrosłupa. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego ACE. Zatem wysokość H ostrosłupa mamy natychmiast, stosując wzór... Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi...
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij