Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej
Jesteś tutaj: Matematyka » Liceum » Kombinatoryka » Permutacje

Permutacje

Zapamiętaj!

Symbolem n! (czytaj: n silnia) oznaczamy iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n włącznie.

Permutacje. n - 1 to liczba naturalna poprzedzająca liczbę n... Ponadto przyjmuje się, że 0! = 1. Zatem... N+ oznaczamy zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Przykłady

Permutacje.

Zadanie 1

Oblicz:

Permutacje. Rozwiązanie. Skracamy licznik i mianownik przez 6! W liczniku wyłączamy 7! przed nawias, a następnie skracamy licznik i mianownik przez 7!

Zadanie 2

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:

Permutacje. Rozwiązanie. Skracamy licznik i mianownik przez...

Zadanie 3

Permutacje. Sprawdź, czy prawdziwa jest równość...

Rozwiązanie:

Zajmiemy się przekształceniem lewej strony równości...

Permutacje.

Zatem L = P.

Odpowiedź:

Dana równość jest prawdziwa.

Permutacje. Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru n-elementowego.

Zapamiętaj!

Z permutacjami danego zbioru mamy do czynienia wtedy, gdy porządkujemy elementy danego zbioru (kolejność elementów jest tutaj istotna).

Zadanie 4

Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań?

Permutacje. Rozwiązanie. Wypiszmy wszystkie możliwe ustawienia: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Odpowiedź: Jest 6 możliwych sposobów. Kolejność ustawienia elementów jest istotna. Każde z tych sześciu ustawień jest ciągiem 3-wyrazowym, czyli permutacją zbioru {A, B, C}.

Zadanie 5

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4?

Rozwiązanie:

Wypisywanie wszystkich ustawień cyfr jest dość kłopotliwe. Wyobraźmy sobie, że mamy do uzupełnienia cztery kratki, gdzie każda kratka to jedna z czterech cyfr naszej liczby:

Permutacje. Cyfra tysięcy, cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności.

Cyfrą tysięcy może być: 1, 2, 3 lub 4 - mamy cztery możliwości. Po wypełnieniu pierwszej kratki, drugą, czyli cyfrę setek możemy zapisać za pomoca jednej z trzech pozostałych cyfr - mamy trzy możliwości. Cyfrą dziesiątek może być jedna z dwóch pozostałych cyfr, czyli mamy dwie możliwości. Ostatnią kratkę wypełniamy pozostałą, ostatnią cyfrą - mamy jedną możliwość. Zatem wszystkich możliwych ustawień (ciągów) jest:

Permutacje. Iloczyn 4, 3, 2 i 1 możliwości.

Odpowiedź

Są 24 takie liczby.

Permutacje. Twierdzenie. Liczba wszystkich permutacji n-elementowego zbioru wyraża się wzorem...

Zadanie 6

Na ile sposobów może usiąść na ławce 6 osób?

Rozwiązanie:

Permutacje. Są to permutacje 6-elementowego zbioru i jest ich 6!

Odpowiedź

6 osób może usiąść na 720 różnych sposobów.

Zadanie 7

Ile liczb siedmiocyfrowych można zapisać za pomocą cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

Rozwiązanie:

Wszystkich liczb siedmiocyfrowych utworzonych z siedmiu różnych cyfr jest:

Permutacje. Jest ich tyle, ile jest permutacji 7-elementowego zbioru, czyli 7!.

Jednak pierwszą cyfrą liczby nie może być zero. Obliczmy, ile jest możliwych takich ustawień, w których 0 jest na pierwszym miejscu:

Permutacje. Pierwszą pozycję zajmuje 0, pozostałe 6 wolnych miejsc może zająć każda z 6 pozostałych cyfr. Możliwości jest więc tyle, ile jest permutacji 6-elementowego zbioru, czyli 6!.

Odpowiedź

Wszystkich możliwych liczb siedmiocyfrowych, jakie można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest 4320.

Zadanie 8

Liczba permutacji n elementów jest 30 razy mniejsza od liczby permutacji n + 2 elementów. Oblicz n.

Permutacje. Liczba permutacji n+2-elementów. n! - liczba permutacji n-elementów. Dzielimy obydwie strony równania przez n! n+1 i n+2 to kolejne liczby naturalne, skoro ich iloczyn wynosi 30, to mogą to być tylko liczby 5 i 6. Jest to równanie kwadratowe. Przekształcamy lewą stronę równania do najprostszej postaci oraz od obydwu stron równania odejmujemy 30. Otrzymujemy trójmian kwadratowy w postaci ogólnej. Aby obliczyć jego pierwiastki, obliczamy deltę ze wzoru. Ponieważ delta większa od 0, równanie to ma dwa rozwiązania. Pierwiastki trójmianu kwadratowego obliczamy ze wzorów... Tylko rozwiązanie n = 4 spełnia warunki zadania. -7 nie spełnia warunków zadania, bo nie jest liczbą naturalną.

Zadanie 9

Na ile różnych sposobów może usiąść 8 osób przy okrągłym stole, jeżeli:

a) uwzględniamy miejsca zajmowane przy stole (krzesła są ponumerowane),

b) uwzględniamy tylko rozmieszczenie osób względem siebie.

Rozwiązanie:

Ad a)

Sposobów jest tyle, ile permutacji 8-elementowego zbioru, czyli:

Permutacje. Pierwsza osoba może zająć miejsce na 8 sposobów, druga ma do wyboru 7 krzeseł, trzecia 6... Ostatnia osoa ma tylko 1 możliwość. Odpowiedź: Jest 40320 możliwości.

Ad b)

Jeżeli uwzględniamy tylko rozmieszczenie osób względem siebie, to znaczy, że za różne sposoby rozmieszczenia osób przy stole uważamy takie dwa, w których przynajmniej jedna z osób ma innego sąsiada po prawej lub lewej stronie. Zatem rozmieszczenie osób nie ulegnie zmianie, jeżeli np. każdą z osób przesadzimy o jedno krzesło (lub więcej, ale wszystkich o tyle samo) w tym samym kierunku (np. zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Liczba różnych sposobów rozmieszczenia osób jest więc 8 razy mniejsza niż w sytuacji, gdy krzesła były ponumerowane.

Permutacje. Skracamy licznik i mianownik przez 8.

Inaczej: jesli ustalimy miejsce pierwszej osoby (nie ma znaczenia, które krzesło zajmie), to wystarczy rozważyć, jak względem niej można rozmieścić siedem pozostałych osób. Można to uczynić na 7! sposobów (tyle, ile jest permutacji 7-elementowego zbioru), czyli 5040.

Odpowiedź

Jest 5 040 możliwości.

Zadanie 10

Należy ustawić pięć osób w szeregu tak, aby:

a) osoby X i Y stały obok siebie,

b) pomiędzy osobami X i Y stały dwie osoby.

Na ile sposobów można to zrobić w każdym z wymienionych przypadków?

Rozwiązanie:

Ad a)

Wyobraźmy sobie ten szereg (dla ułatwienia ponumerujmy miejsca w szeregu):

Permutacje.

Zastanówmy się, na ile sposobów możemy ustawić osobę X tak, aby osoba Y mogła stać obok niej. Są 4 możliwości: miejsca od 1 do 4 włącznie (X nie może stanąć tylko na końcu, czyli w pozycji 5, ponieważ wtedy dla Y zabraknie miejsca).

X i Y mogą być ustawione w innym uporządkowaniu (X może stać po lewej lub prawej ręce Y). Takich możliwości jest tyle, ile permutacji 2-elementowego zbioru, czyli P2 = 2!

Mamy jeszcze do rozważenia ustawienie pozostałych trzech osób. Mogą one dowolnie zmieniać się miejscami (w każdym przypadku mają do wykorzystania trzy miejsca). Sposobów ustawienia ich w szeregu jest tyle, ile permutacji 3-elementowego zbioru, czyli P3 = 3!

Zatem wszystkich sposobów ustawienia w szeregu 5-osobywm osób X i Y obok siebie jest:

4 · 2! · 3! = 4 · 2 · 6 = 48

Odpowiedź

Wszystkich możliwych ustawień takich, że osoby X i Y stoją obok siebie, jest 48.

Ad b)

Rozważmy ustawienie:

Permutacje.

Zatem osobę X można ustawić na 2 sposoby tak, aby osoba Y mogła stać za X o dwie osoby dalej.

X i Y mogą być ustawione w innym uporządkowaniu (X może stać po lewej lub prawej ręce Y). Takich możliwości jest tyle, ile permutacji 2-elementowego zbioru, czyli P2 = 2!

Ustawienie pozostałych trzech osób (analogicznie jak w poprzednim przypadku) może odbyć się na 3! sposobów (P3 = 3!).

Zatem wszystkich sposobów ustawienia w szeregu 5-osobowym tak, aby między osobami X i Y stały 2 osoby, jest:

2 · 2! · 3! = 2 · 2 · 6 = 24

Odpowiedź

Wszystkich możliwych ustawień takich, że pomiędzy osobami X i Y stoją dwie osoby, jest 24.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij