Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech omega będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu A jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że... to mówimy, że na zdarzeniach zbioru omega określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Uwaga!

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Jeśli zdarzeniu A sprzyjają wyniki... Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, definicja Laplace'a. Jeżeli przestrzeń omega jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (możliwe), natomiast A jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to... Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A / Liczba wszystkich wyników przestrzeni omega.

Własności prawdopodobieństwa:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności.

Uwaga!

Jeżeli zdarzenia A1, A2, ..., An wykluczają się parami (tzn. każde dwa zdarzenia wykluczają się), to

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności.

Zadanie 1

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Sprawdź, czy zdarzenia A i B wykluczają się, jeśli... Rozwiązanie: Gdyby zdarzenia A i B wykluczały się... Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z przestrzeni omega jest liczbą z przedziału... (własność prawdopodobieństwa (5)).

Odpowiedź

Zdarzenia A i B nie mogą się wykluczać.

Zadanie 2

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Własność prawdopodobieństwa (3). Podstawiamy za... Z własności działań na zbiorach... Zdarzenia wykluczają się...

Zadanie 3

W urnie znajduje się 5 kul czarno-czerwonych, 3 kule biało-niebieskie, 6 kul zielono-żółtych i 8 kul białych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli dwukolorowej.

Rozwiązanie:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Określmy następujące zdarzenie: A - wylosowana kula jest dwukolorowa. Zdarzeń elementarnych jest tyle, ile jest kul w urnie. Określmy także zdarzenia: B1 - wylosowana kula jest czerwono-czarna, B2 - wylosowana kula jest biało-niebieska, B3 - wylosowana kula jest zielono-żółta, B4 - wylosowana kula jest biała B4. Na 22 kule 14 jest dwukolorowych, zatem... Wylosowanie jednej z 22 kul jest jednakowo możliwe (model klasyczny). Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli dwukolorowej wynosi 7/11.

Zadanie 4

Z klasy, w której jest 12 dziewcząt i 15 chłopców, wybieramy trzyosobową delegację. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jedna dziewczyna?

Rozwiązanie:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. U - zbiór uczniów danej klasy. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to kombinacje 3-elementowe zbioru 27-elementowego i jest ich... Określmy zdarzenie: A - wylosowano co najmniej jedną dziewczynę. Łatwiej w tej sytuacji będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A. A' - wylosowano samych chłopców. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A' są kombinacjami 3-elementowymi zbioru 15-elementowego i jest ich...

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wylosowania do składu delegacji co najmniej jednej dziewczyny wynosi w przybliżeniu 0,84.

Zadanie 5

Czterotomowy słownik ustawiono na półce, układając poszczególne tomy obok siebie w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, w którym tomy zostały ustawione w kolejności rosnącej lub malejącej (wg numerów tomów)?

Rozwiązanie:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to permutacje zbioru 4-elementowego i jest ich... Odpowiedź: Prawdopodobieństwo ustawienia tomów w kolejności rosnącej lub malejącej wynosi 1/12.

Zadanie 6

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. A - wypadły co najwyżej cztery oczka. B - wypadła parzysta liczba oczek. ...oraz zdarzeń... Rozwiązanie... Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Zdarzenia A i B nie wykluczają się, nie możemy zatem zastosować wzoru.

Zadanie 7

Rzucamy czterema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. A - wypadnie dokładnie jedna reszka, B - wypadnie co najmniej jeden orzeł, C - orzeł wypadnie tyle samo razy co reszka. ...oraz zdarzenia... Rozwiązanie. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to 4-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru i jest ich... Rozważmy zdarzenie: A - wypadnie dokładnie jedna reszka. B - wypadnie co najmniej jeden orzeł. Wygodniej będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B' - wypadną same reszki. Orzeł wypadnie tyle samo razy co reszka. Zdarzenia A i C wykluczają się.

Zadanie 8

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. W urnie jest jedna kula biała i pewna liczba kul czarnych. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Ile powinno być kul czarnych w urnie, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych było równe 2/3? Rozwiązanie: Niech n będzie liczbą kul czarnych, wówczas n + 1 będzie liczbą wszystkich kul w urnie. Zbiór kul znajdujących się w urnie. ... są numerami poszczególnych kul. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to 2-elementowe kombinacje zbioru... Skracamy licznik i mianownik. Określmy zdarzenie: A - wylosowane zostaną dwie kule czarne. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są 2-elementowe kombinacje zbioru n-elementowego (zbioru czarnych kul). Skracamy licznik i mianownik przez (n-2)! Licznik i mianownik skracamy przez n. Jest to proporcja. Zatem iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

Odpowiedź

W urnie powinno znajdować się 5 kul czarnych.

Zadanie 9

Gracz ma do wyboru dwie gry. Pierwsza polega na równoczesnym rzucie symetryczną kostką sześcienną i dwiema monetami. Gracz wygra, gdy wyrzuci parzystą liczbę oczek i dwie reszki. W drugiej grze, spośród 16 kul ponumerowanych liczbami 1, 2, ..., 16, wśród których są tylko 4 kule białe, losuje się bez zwracania 3 kule. Gracz wygra, gdy wśród wylosowanych kul dokładnie dwie będą białe.

a) opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla każdej gry,

b) oblicz prawdopodobieństwo wygrania w grze pierwszej oraz prawdopodobieństwo wygrania w grze drugiej,

c) w której grze prawdopodobieństwo wygrania jest większe i o ile?

Rozwiązanie:

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Określmy zdarzenia: A - gracz wygra w pierwszej grze; B - gracz wygra w drugiej grze. Oznaczmy - zbiór wszystkich wyników w pierwszej grze; zbiór wszystkich wyników w drugiej grze. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to 3-wyrazowe ciągi, których pierwszym wyrazem jest wynik rzutu kostką, drugim i trzecim wyrazem wynik pierwszego i drugiego rzutu monetą. Tyle jest możliwych wyników rzutu kostką; tyle jest możliwych wyników dwukrotnego rzutu monetą. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu parzystej liczby oczek i dwóch reszek. Tyle jest możliwych parzystych wyników; tyle jest możliwych wyników, w których wypadną 2 reszki. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Są to 3-elementowe podzbiory zbioru... których elementami są wyniki losowania pierwszej, drugiej, trzeciej kuli, zatem są to 3-elementowe kombinacje zbioru 16-elementowego i jest ich... (kolejność wylosowanych kul nie ma znaczenia). Zdarzenie B polega na wylosowaniu 3 kul, w tym dokładnie 2 białych. Zbiór numerów kul białych. Tyle jest możliwości wylosowania 2 spośród 4 kul białych. Tyle jest możliwości wylosowania 1 spośród 12 kul, z których żadna nie jest biała. Aby porównać dwa ułamki, sprowadzamy jest do wspólnego mianownika, którym jest 280. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wygrania jest większe o 1/280 w grze drugiej.

Zadanie 10

Ze zbioru wszystkich wierzchołków danego n-kąta foremnego o boku długości a losujemy dwa różne wierzchołki przyjmując, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne.

Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Dla n = 6 oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A - wylosowane wierzchołki wyznaczają bok danego wielokąta; B - wylosowane wierzchołki wyznaczają odcinek długości 2a. Dla jakich wartości n, prawdopodobieństwo zdarzenia C polegającego na wylosowaniu wierzchołków wyznaczających bok danego n-kąta jest mniejsze od 1/10? Rozwiązanie: i-ty wierzchołek spośród n wierzchołków. Zdarzeniami elementarnymi są tutaj 2-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego, których elementy są wierzchołkami wylosowanymi spośród n wierzchołków. Są to 2-elementowe kombinacje zbioru n-elementowego i jest ich... Ponieważ mamy do czynienia z wielokątem... Rozważmy zdarzenie: A - wylosowane wierzchołki wyznaczają bok danego wielokąta, dla n = 6. 6 spośród 15 możliwych par wierzchołków stanowi końce boków danego wielokąta (sześciokąt ma 6 boków). B - wylosowane wierzchołki wyznaczają odcinek długości 2a. Sześciokąt foremny o boku długości a, posiada 3 przekątne długości 2a. C - wylosowane wierzchołki wyznaczają bok danego n-kąta. n-kąt ma n boków. Ponieważ... to możemy obie strony nierówności pomnożyć przez (n-1) i otrzymamy nierówność równoważną danej.
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij