Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Trójmianem kwadratowym w postaci ogólnej nazywamy funkcję...

Scharakteryzujmy funkcję kwadratową y = ax2.

Wykresem funkcji kwadratowej y = ax2, a ≠ 0 jest parabola o wierzchołku w punkcie (0, 0).

Jeżeli a > 0 to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Jeżeli a < 0 to ramiona paraboli są zawsze skierowane w dół.

Rozchylenie ramion jest tym większe, im mniejsze jest |a|.

Pamiętajmy poza tym, że funkcja y = ax2 jest parzysta, czyli jej wykres jest symetryczny względem osi OY.

Aby otrzymać funkcję y = ax2 + bx + c należy funkcję y = ax2 przekształcić w następujący sposób:

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Wykresem funkcji jest parabola przystająca do paraboli... Osią symetrii jest prosta... zaś punkt przecięcia z osią OY to (0, c). Wyrażenie... nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. Postać kanoniczna trójmianu... Wykresem funkcji kwadratowej... jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne.

UWAGA!

Z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej możemy odczytać wierzchołek paraboli.

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Jeżeli... to trójmian... ma dwa pierwiastki. Jeżeli... to trójmian... ma jeden pierwiastek (podwójny). Jeżeli... to trójmian... nie ma pierwiastków. Postać iloczynowa trójmianu... dana jest wzorem...

Zapamiętaj następujące przypadku związane z funkcją kwadratową, zilustrowane poniżej.

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Parabola nie przecina osi OX, to jest równoznaczne z tym, że nie ma miejsc zerowych (trójmian nie ma pierwiastków). Brak pierwiastków. Parabola ma jeden punkt wspólny z osią OX, to jest równoznaczne z tym, że ma jedno miejsce zerowe (podwójne) (trójmian ma jeden pierwiastek podwójny). Parabola przecina oś OX w dwóch punktach, to jest równoznaczne z tym, że ma dwa miejsca zerowe (trójmian ma dwa pierwiastki).

Zadanie 1

Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej f(x) = -x2 + 5x - 7.

Rozwiązanie:

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Jednym ze sposobów rozwiązania tego zadania jest obliczenie wielkości występujących we wzorze na postać kanoniczną. Postać kanoniczna.

Zadanie 2

Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową daną w postaci kanonicznej.

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Rozwiązanie. Należy wykonać zaznaczone działania i uporządkować trójmian. Postać ogólna.

Zadanie 3

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Dany trójmian kwadratowy... sprowadź do postaci iloczynowej. Rozwiązanie. Jednym ze sposobów rozwiązania zadania jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia. Postać iloczynowa.

Zadanie 4

Dana jest funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej f(x) = 2(x + 1) · (x + 5). Podaj jej postać kanoniczną.

Rozwiązanie:

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Najpierw zamieniamy daną postać na ogólną, a następnie obliczamy potrzebne współczynniki. Postać kanoniczna.

Zadanie 5

Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = 2x2 + bx + c. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby: x1 = 3, x2 = -1.

a) Wyznacz współczynniki b i c.

b) Podaje jej postać kanoniczną.

c) Podaj postać iloczynową tej funkcji.

Rozwiązanie:

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Ponieważ dane liczby są miejscami zerowymi, zatem wartość funkcji dla tych argumentów jest równa zero. Na tej podstawie układamy układ równań i obliczamy wartości szukanych współczynników. Znajdujemy postać kanoniczną innym sposobem, niż to robiliśmy dotychczas. Sposób polega na uzupełnianiu do wzoru skróconego mnożenia. Postać iloczynowa. Wystarczy dane w treści zadania miejsca zerowe wstawić do wzoru na postać iloczynową.

Zadanie 6

Napisz postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo, że dla argumentu 2 osiąga wartość największą równą 8, a jednym z jej miejsc zerowych jest 4.

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej. Rozwiązanie. Korzystamy najpierw z informacji, że jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 4 i układamy równanie. Kolejna informacja zawarta w treści zadania dotyczy współrzędnych wierzchołka tej funkcji. Wierzchołek należy do wykresu funkcji, zatem układamy równanie. Tworzymy układ równań. Postać ogólna, postać iloczynowa.
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij