Prawdopodobieństwo warunkowe

W wielu przypadkach, informacja o zajściu zdarzenia B ma pewien wpływ na wartość obliczanego prawdopodobieństwa zdarzenia A.

Przykład 1

Z liczb 1, 2, 3, 4, 5 losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo:

a) zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest większy od 10,

b) zdarzenia B polegającego na tym, że za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą,

c) zdarzenia C polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest większy niż 10 i że za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą,

d) zdarzenia D polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest większy niż 10 jeśli wiadomo, że za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą.

Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Wypiszmy elementy zbioru... Doświadczenie polega na wylosowaniu dwóch liczb spośród pięciu. Ponieważ kolejność losowania liczb jest istotna i losowanie jest bez zwracania, mamy do czynienia z 2-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru 5-elementowego. Wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń elementarnych... Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Zdarzeniu B sprzyja 12 zdarzeń elementarnych... Zdarzenie C, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na łącznym zajściu zdarzenia A oraz zdarzenia B. Zdarzeniu C sprzyjają 4 zdarzenia elementarne... W rozważanym przypadku jako zbiór zdarzeń elementarnych możemy przyjąć zbiór tych par - zdarzeń elementarnych zbioru, które na pierwszym miejscu mają liczbę nieparzystą. Mamy 12 takich par. Oznaczmy ten zbiór... Zdarzeniu D, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć sprzyjają te pary liczb, których iloczyn jest większy niż 10. Są 4 takie pary.

Zapamiętaj!

Zdarzenie polegające na zajściu zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B, oznaczamy symbolem A/B, prawdopodobieństwo tego zdarzenia P(A/B) nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym.

Prawdopodobieństwo warunkowe. Po wprowadzeniu powyższych oznaczeń możemy powiedzieć, że w punkcie d) przykładu 1 obliczyliśmy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, przy warunku, że zaszło zdarzenie B, co zapisujemy: P(A/B) = 1/3. Prawdopodobieństwo warunkowe: Prawdopodobieństwem zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę.

Uwaga!

W modelu klasycznym, tzn. gdy wszystkie możliwe wyniki są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo warunkowe można obliczyć ze wzoru:

Prawdopodobieństwo warunkowe.

Wniosek:

Prawdopodobieństwo warunkowe.

Zadanie 1

Prawdopodobieństwo warunkowe. Oblicz P(A/B), jeśli wiadomo, że...

Rozwiązanie:

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego mamy:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Z treści zadania wiemy, że P(B) = 2/3. Nie znamy wartości... Własność prawdopodobieństwa. Przekształcając powyższą równość wyliczamy... i podstawiamy dane liczbowe z treści zadania. Możemy teraz wyliczyć...

Zadanie 2

Prawdopodobieństwo warunkowe. Oblicz P(A/B) wiedząc, że...

Rozwiązanie:

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego mamy:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Z treści zadania wiemy, że P(B) = 1/6. Nie znamyw artości... Z własności prawdopodobieństwa. Możemy zatem wyliczyć wartość P(A/B).

Zadanie 3

Z talii kart losujemy jedną kartę. Jakiejest prawdopodobieństwo, że będzie ona figurą (asem, królem, damą waletem), jeśli wiadomo, że jest koloru pik?

Rozwiązanie:

Doświadczenie polega na losowaniu jednej karty spośród 52. Zdarzeniami elementarnymi są jednoelementowe kombinacje zbioru 52 kart, czyli:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Oznaczmy następująco zdarzenia: A - wylosowano kartę z figurą, B - wylosowano kartę koloru pik. Zdarzeniu A sprzyja 16 zdarzeń elementarnych. W talii 52 kart są po cztery figury w każdym kolorze, czyli razem 16 figur. Zdarzeniu B sprzyja 13 zdarzeń elementarnych. W talii jest 13 pików. Są cztery figury w kolorze pik. Należy obliczyć P(A/B). Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 4/13.

Zadanie 4

Z talii 52 kart losujemy dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna z nich będzie starsza od 9, pod warunkiem, że żadna z wylosowanych kart nie jest karem?

Rozwiązanie:

Doświadczenie polega na jednoczesnym losowaniu dwóch kart spośród 52. Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe kombinacje zbioru 52 kart, czyli:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Oznaczmy następująco zdarzenia: A - wylosowano co najmniej jedną kartę starszą od 9, B - wylosowane karty nie są koloru karo. Należy obliczyć P(A/B). W tali jest 39 kart w kolorze różnym od karo. Zdarzeniu B sprzyja ... zdarzeń elementarnych. Zdarzeniu ... sprzyjają te zdarzenia elementarne, w których nie wylosowano karty koloru karo oraz wśród wylosowanych kart jest co najmniej jedna (jedna lub dwie) karta starsza od 9 (może być 10, walet, dama, król, as). Kart starszych od 9 w trzech kolorach: pik, trefl, kier jest 15. Wylosowanie dwóch kart w kolorze innym niż karo, starszych od 9 możliwe jest na ... sposobów, natomiast wylosowanie dwóch kart w kolorze innym niż karo, w tym jednej starszej od 9 możliwe jest na ... sposobów. Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo jest równe 155/247.

Zadanie 5

Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie równa 6, jeśli wiadomo, że na co najmniej jednej kostce wypadnie liczba pierwsza?

Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo warunkowe. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, są to 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego. Oznaczmy następująco zdarzenia: A - na co najmniej jednej kostce wypadnie liczba pierwsza, B - suma wyrzuconych oczek równa jest 6. Zauważmy, że zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek będzie równa 6, jeśli na co najmniej jednej kostce wypadnie liczba pierwsza jest zdarzeniem B/A. Zdarzenie B zajdzie pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie A. Należy zatem obliczyć P(B/A). Prawdopodobieństwo warunkowe. Liczba pierwsza - liczba ... która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i p. W naszym przypadku są to liczby: 2, 3 i 5. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wyrzuconych oczek będzie równa 6, jeśli na co najmniej jednej kostce wypadnie liczba pierwsza, wynosi 5/27.

Zadanie 6

Z grupy 4 mężczyzn i 3 kobiet wybrane zostaną losowo 2 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane osoby będą kobietami?

Rozwiązanie:

Oznaczmy następująco zdarzenia:

Prawdopodobieństwo warunkowe. A - pierwsza wylosowana osoba będzie kobietą, B - druga wylosowana osoba będzie kobietą, ... - oznacza, że pierwsza i druga wylosowana osoba to kobieta. Jeśli pierwszą wylosowaną osobą będzie kobieta, to losowanie drugiej osoby odbywa się spośród osób, z których dwie są kobietami. Korzystamy z punktu 2 WNIOSKU. II sposób rozwiązania: Doświadczenie polega na losowaniu dwóch osób spośród 7. Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe kombinacje zbioru 7 osób, czyli... Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Oznaczmy zdarzenie: A - wylosowane zostaną dwie kobiety. Zdarzeniu A sprzyja ... zdarzeń elementarnych. Wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny). Odpowiedź Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kobiet wynosi 1/7.

Zadanie 7

W pudełku znajdują się 52 klocki, z których 13 jest koloru zielonego. Rozdajemy kolejno każdemu z czwórki dzieci po 13 klocków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze dziecko otrzyma 6 zielonych klocków, drugie 4 zielone klocki, trzecie dziecko 1 zielony, a czwarte 2 w kolorze zielonym?

Rozwiązanie:

Oznaczmy następująco zdarzenia:

Prawdopodobieństwo warunkowe. A1 - pierwsze dziecko otrzyma 6 zielonych klocków, A2 - drugie dziecko otrzyma 4 zielone klocki, A3 - trzecie dziecko otrzyma 1 zielony klocek, A4 - czwarte dziecko otrzyma 2 zielone klocki. A - pierwsze dziecko otrzyma 6 zielonych klocków, drugie 4, trzecie 1, a czwarte 2 klocki w kolorze zielonym. Korzystamy z punktu 3 wniosku. W liczniku rozważamy iloczyn ... ponieważ losujemy 6 spośród 13 zielonych klocków, co jest możliwe na ... sposobów i 7 spośród 39 klocków innego koloru, co jest możliwe na ... sposobów. W mianowniku mamy ... ponieważ pierwsze dziecko otrzymuje 13 klocków spośród 52. Obliczmy teraz P(A2/A1). Po przydzieleniu klocków pierwszemu dziecku pozostało 39 klocków, w tym 7 zielonych. Drugiemu dziecku przydzielamy 13 klocków, w tym 4 w kolorze zielonym. W liczniku rozważamy iloczyn ... ponieważ losujemy spośród 7 pozostałych zielonych klocków, co jest możliwe na ... sposobów i 9 klocków spośród 32 pozostałych innego koloru, co jest możliwe na ... sposobów. W mianowniku mamy ... ponieważ drugie dziecko otrzymuje 13 klocków spośród 39 pozostałych. Po przydzieleniu klocków pierwszemu i drugiemu dziecku pozostało 26 klocków, w tym 3 zielone. Trzecie dziecko ma otrzymać jeden klocek zielony i 12 innego koloru, co jest możliwe na ... sposobów. Ostatnie dziecko musi dostać pozostałe klocki, wśród których dokładnie dwa są koloru zielonego, a więc... Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że pierwsze dziecko otrzyma 6 zielonych klocków, drugie 4 zielone klocki, trzecie dziecko 1 zielony, a czwarte 2 w kolorze zielonym wynosi...

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij