Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna - wprowadzenie

Zadanie 1

Znajdź współrzędne obrazu punktu P(1; 2) w symetrii osiowej o osi k: y = -2x + 1.

Rozwiązanie:

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Najpierw zauważmy, że punkt P nie nalezy do osi symetrii, ponieważ jego współrzędne nie spełniają równania prostej. Rozwiązanie zadania można zredagować w punktach - krokach, które ułatwią zrozumienie. Krok I - wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P. Krok II - znajdujemy współrzędne punktu przecięcia prostych k i k1, tworząc i rozwiązując układ równań. Krok III - znaleziony w poprzednim kroku punkt jest środkiem odcinka, którego jednym z końców jest szukany punkt, dlatego zastosujemy wzór na współrzędne środka odcinka. Szukany punkt ma współrzędne...

Zadanie 2

Znajdź równanie osi symetrii pewnej symetrii osiowej, wiedząc, że obrazem punktu P(-2; 3) jest punkt Q(4; -2).

Rozwiązanie

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Krok I - znajdujemy równanie prostej PQ, tworząc i rozwiązując układ równań. Prosta PQ ma równanie... Krok II - znajdujemy współrzędne środka odcinka PQ. Krok III - piszemy równanie prostej prostopadłej do prostej PQ i przechodzącej przez punkt S. Będzie to szukana prosta (oś symetrii). Odpowiedź: szukana prosta...

Zadanie 3

Znajdź obraz prostej k: 3x - y + 1 = 0 w symetrii osiowej o osi:

a) OX

b) OY

Rozwiązanie:

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Korzystamy z analitycznego przedstawienia symetrii osiowej o osi OX. Do równania prostej wstawiamy powyższe wzory. Udzielając końcowej odpowiedzi możemy opuścić prim. Korzystamy z analitycznego przedstawienia symetrii osiowej o osi OY. Do równania prostej wstawiamy powyższe wzory. Udzielając końcowej odpowiedzi możemy opuścić prim.

Zadanie 4

Znajdź obraz punktu K(1; 3) w symetrii środkowej o środku S(-1; -4).

Rozwiązanie

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Środek symetrii jest jednocześnie środkiem odcinka KK, gdzie punkt K jest obrazem punktu K. Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka.

Odpowiedź:

Obraz punktu K ma współrzędne: (-3, -11).

Zadanie 5

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Znajdź obraz punktu P(-2; 4) w translacji o wektor... Rozwiązanie. Korzystamy ze wzorów analitycznych na translację. ...gdzie a i b są współrzędnymi wektora translacji. Podstawiamy dane do wzoru. Podstawiamy dane do wzoru.

Odpowiedź

Szukany punkt ma współrzędne: (-4, 7).

Zadanie 6

Znajdź współrzędne wektora przesunięcia, w którym obrazem punktu A(-4; -6) jest punkt A`(7; 2).

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Rozwiązanie. Korzystamy ze wzorów analitycznych na translację. ... gdzie a i b są współrzędnymi wektora translacji. Wstawiamy dane do wzoru.

Odpowiedź

Szukany wektor ma współrzędne: [11, 8].

Zadanie 7

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Znajdź obraz okręgu w translacji o wektor. Rozwiązanie. Korzystamy ze wzorów analitycznych na translację. ...gdzie a i b są współrzędnymi wektora translacji. Z danych wzorów obliczamy x oraz y i wstawiamy do równania okręgu. Równanie porządkujemy. Dla ułatwienia zapisu opuszczamy prim.

Odpowiedź

Równanie obrazu ma postać x2 + y2 - 8y + 15 = 0.

Zadanie 8

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Dana jest jednokładność. Znajdź współrzędne środka S jednokładności wiedząc, że obrazem punktu A jest punkt A`. Rozwiązanie. Korzystamy z analitycznych wzorów na jednokładność.

Odpowiedź

Szukany środek jednokładności ma współrzędne: (-15, 14).

Zadanie 9

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Wyznacz te wartości parametru k, dla których przekształcenie jest izometrią. Jednokładność jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy skala jednokładności spełnia warunek... Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną. Odpowiedź: szukane wartości parametru k to...

Zadanie 10

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Znajdź równanie obrazu okręgu, prostej w jednokładności o środku S(0; 0) i skali k = -2. Rozwiązanie. Korzystamy ze wzorów analitycznych na jednokładność. Wstawiamy powyższe wzory do równania okręgu. Opuszczamy prim. Postępujemy analogicznie jak w poprzednim podpunkcie.

Zadanie 11

Sprawdź czy odcinki AB i CD, gdzie A(1; 3), B(0; 7), C(10; 0) i D(8; 8) są jednokładne.

Przekształcenia płaszczyzny - interpretacja analityczna. Rozwiązanie. Obliczamy współrzędne wektorów i sprawdzamy, czy współrzędne jednego z nich są wielokrotnościami drugiego.

Odpowiedź

Współrzędne nie są wzajemnymi wielokrotnościami, zatem odcinki nie są jednokładne.

Zadanie 12

Sprawdź, które z danych przekształceń jest izometrią:

a) P1(x, y) = (x - 1, y + 2)

b) Q(x, y) = (2x, y)

Rozwiązanie:

Przekształcenie jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy odległość przekształcanych punktów jest równa odległości obrazów tych punktów. Jednym ze sposobów sprawdzenia, czy dane przekształcenie jest izometrią, jest wnikliwa analiza „wzoru” danego przekształcenia.

Ad a)

Zauważmy, że dane przekształcenie jedynie przesuwa punkty, nie mnoży ich współrzędnych. Jest to izometria.

Ad b)

W tym przypadku pierwsza współrzędna jest zwiększana dwukrotnie. To przekształcenie nie jest izometrią.

Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij