Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa.

Jeżeli dwie proste przetniemy prostymi równoległymi, to długości odcinków utworzonych na jednej prostej są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugiej prostej.

Inaczej:

Twierdzenie Talesa.

Małe twierdzenie Talesa (dotyczące trójkąta)

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to długości odcinków utworzonych na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu tego kąta.

Twierdzenie Talesa.

Twierdzenie odwrotne do małego twierdzenia Talesa

Jeżeli długości odcinków wyznaczonych przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

Twierdzenie Talesa.

Zadanie 1

Twierdzenie Talesa. Na poniższym rysunku odcinki są równoległe. Znajdź długość x i y, wiedząc, że... Rozwiązanie. Najpierw wyliczamy x. Zgodnie z twierdzeniem Talesa, proste równoległe odcinają na przecinających je prostych odcinki proporcjonalne. Proporcjonalność oznacza możliwość utworzenia równości. Równanie rozwiązujemy, mnożąc na krzyż i wyliczając x. Teraz znajdujemy y. DA i BE są równoległe, zatem odcinki... są proporcjonalne, co zapisujemy w postaci równości... Rozwiązujemy równanie, w miejsce x wstawiając wyliczoną wcześniej liczbę. Mnożymy na krzyż i wyliczamy y. Odpowiedź.

Zadanie 2

Mając dane, jak na poniższym rysunku, odpowiedz, które spośród prostych k, l, m są równoległe.

Twierdzenie Talesa.

Rozwiązanie:

Musimy sprawdzić, czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne.

Czy proste k i l są równoległe?

Twierdzenie Talesa. Aby to sprawdzić, trzeba ułożyć proporcję i sprawdzić, czy jest prawdziwa. Jeśli odpowiedź na to pytanie brzmi TAK, to proste k i l są równoległe. Jeśli odpowiedź brzmi NIE - to te proste nie są równoległe. To oczywiście wynika z twierdzenia Talesa.

Proste k i l są równoległe.

Czy proste l i m są równoległe?

Twierdzenie Talesa. Rozumujemy tak jak poprzednio. Długość odcinków znajdujemy, dodając długości...

Proste l i m nie są równoległe.

Czy proste k i m są równoległe?

Twierdzenie Talesa. W tym przypadku rachunki nie są konieczne. Wystarczy spojrzeć na rysunek. Wiemy, że k jest równoległa do l oraz l nie jest równoległa do m. Czyli k nie może być równoległa do m.

Odpowiedź

Proste k, l są równoległe.

Prosta m nie jest równoległa do żadnej z prostych k, l.

Zadanie 3

Twierdzenie Talesa. Na rysunku odcinek DE jest równoległy do odcinka Ab. Oblicz obwód trójkąta CDE wiedząc, że...

Rozwiązanie:

Najpierw rysujemy trójkąt i zaznaczamy znane wielkości. Następnie korzystamy z małego twierdzenia Talesa, dotyczącego trójkąta i z twierdzenia Talesa.

Obwód trójkąta CDE znajdujemy, dodając długości jego boków.

Twierdzenie Talesa. Korzystamy z danych zadania i w miejsce CD wstawiamy 4. Pozostały do wyliczenia długości boków DE i EC. Równość ta wynika z małego twierdzenia Talesa dot. trójkąta. Podstawiamy dane z zadania i z równania wyliczamy DE. Teraz wyliczamy CE. To wynika z tw. Talesa. Do równości wstawiamy dane z zadania i wyliczamy z niej CE. Do wzom na obwód podstawiamy wyliczone wielkości.

Odpowiedź

Obwód trójkąta CDE równa się 10.

Zadanie 4

Na jednym ramieniu kąta, poczynając od jego wierzchołka, odłożono kolejno odcinki o długościach a, b, c. W rzucie równoległym tych odcinków na drugie ramię kąta otrzymano odcinki kolejno o długościach c, a, b. Wykaż, że liczby a, b, c są równe.

Rozwiązanie:

Nie przerażaj się, widząc słowo „wykaż".

Najpierw wykonujemy rysunek.

Twierdzenie Talesa.

To, że w zadaniu jest mowa o rzucie równoległym, oznacza, że na rysunku odcinki łączące ramiona kąta są równoległe.

Piszemy proporcje:

Twierdzenie Talesa. Obie proporcje wynikają z twierdzenia Talesa. Z pierwszej równości wyliczamy a, mnożąc na krzyż. Z drugiej równości wyliczamy a, mnożąc na krzyż. Teraz porównujemy wyliczone a. To oczywiste. Mnożymy na krzyż (korzystając ze wzoru...) Weźmy teraz np. proporcję (1) i wstawmy zamiast b, c.

Zadanie 5

Podstawy trapezu mają długości a = 18 i b = 12, zaś jego ramiona długości c = 15, d = 12. Oblicz długość x, y przedużeń obu ramion trapezu do ich punktu przecięcia.

Rozwiązanie:

Najpierw sporządzamy rysunek.

Twierdzenie Talesa. Układamy równanie... Równość ta wynika z małego tw. Talesa. W miejsce c, b, a podstawiamy dane z zadania i mnożymy na krzyż, wyliczając x. Wyliczamy y. Układamy równanie... Znowu równość ta wynika z małego twierdzenia Talesa. W miejsce a, b, d wstawiamy dane z zadania i mnożąc na krzyż, wyliczamy y.

Zadanie 6

Wykaż, że odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równoległy do podstaw trapezu.

Rozwiązanie:

Najpierw rysunek:

Twierdzenie Talesa. Niech L, K będą odpowiednimi środkami przekątnych AC i BD. Niech M będzie środkiem ramienia AD. Korzystamy tutaj z twierdzenia odwrotnego do tw. Talesa. Odcinek MK łączy środki ramion trójkąta ABD, więc jest równoległy do jego podstawy AB. Odcinek ML łączy środki ramion trójkąta CDA, więc jest równoległy do jego podstawy CD. Skoro AB jest równoległy do CD, to także ML jest równoległy do MK. Ale mają one wspólny koniec M, dlatego L leży na odcinku MK i LK jest równoległy do MK, a więc także do podstawy trapezu. Bo podstawy trapezu są równoległe. Dwa odcinki równolegle do trzeciego są równolegle do siebie.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij