Walec obrotowy - Objętość i pole powierzchni walca

Objętość walca wyrażona jest wzorem:

Objętość i pole powierzchni walca. Pp - pole podstawy będącej kołem o promieniu R; H - wysokość walca.

Pole powierzchni całkowitej walca wyrażone jest wzorem.

Objętość i pole powierzchni walca. Pb - pole powierzchni bocznej walca.

Powierzchnią boczną walca (pobocznicą walca) nazywamy powierzchnię obrotową powstałą przez obrót boku prostokąta równoległego do osi obrotu i rozłącznego z osią obrotu. Rozcinając pobocznicę walca wzdłuż tworzącej, otrzymujemy prostokąt, którego jeden bok ma długość okręgu ograniczającego podstawę walca, a drugi bok jest wysokością walca.

Uwaga!

Jeśli przekrojem osiowym walca jest kwadrat, to walec taki nazywamy walcem równobocznym.

Zadanie 1

Promień podstawy walca jest równy 4 cm, a przekątna jego przekroju osiowego tworzy z podstawą walca kąt o mierze 45°. Oblicz objętość i pole przekroju osiowego tego walca.

Rozwiązanie:

Objętość i pole powierzchni walca. Jak widać na powyższym rysunku, przekrojem osiowym walca jest prostokąt ABCD, w którym CD = AB = 2r. Znamy również kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca, np.: CA, a płaszczyzną podstawy, czyli średnicą CD. Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym BCA... Wstawiamy obliczone wartości do wzoru na objętość walca i otrzymujemy... Teraz przystępujemy do obliczenia pola przekroju osiowego walca. W tym celu należy obliczyć pole prostokąta o bokach 2r i h. Odpowiedź: Objętość walca wynosi... natomiast pole przekroju osiowego tegoż walca wynosi...

Zadanie 2

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość d i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze α. Oblicz objętość walca.

Objętość i pole powierzchni walca. Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, aby obliczyć długość promienia r podstawy walca oraz jego wysokość h. Wstawiając do wzoru na pole podstawy, otrzymujemy... Teraz obliczmy wysokość h naszego walca. Zatem objętość walca wynosi...

Ten portal korzysta z plików cookies w celu umożliwienia pełnego korzystania z funkcjonalności serwisu, dopasowania reklam oraz zbierania anonimowych statystyk. Obsługę cookies możesz wyłączyć w ustawieniach Twojej przeglądarki internetowej. Korzystając z serwisu wyrażasz zgodę na używanie cookies zgodnie z ustawieniami przeglądarki.

Zamknij