Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej
Jesteś tutaj: Matematyka » Liceum » Kombinatoryka » Wariacje bez powtórzeń

Wariacje bez powtórzeń

Wariacje bez powtórzeń. Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, utworzony z k różnych elementów zbioru n-elementowego.

Zapamiętaj!

Z k-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń danego zbioru mamy do czynienia wtedy, gdy k razy wybieramy bez zwracania po jednym elemencie z tego zbioru.

Zadanie 1

Dany jest zbiór X = {1, 2, 3}. Wypisz wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe o różnych cyfrach, jakie można utworzyć z elementów zbioru X. Ile jest wszystkich możliwości?

Rozwiązanie:

Liczby dwucyfrowe to dwuelementowe ciągi, czyli dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń (cyfry mają być różne) zbioru 3-elementowego.

Wariacje bez powtórzeń. Kolejność elementów jest istotna - 12 i 21 to przecież dwie różne liczby.

Cyfrę dziesiątek możemy zapisać na 3 sposoby: cyfra 1, 2 lub 3, cyfrę jedności natomiast już tylko na 2 sposoby (jeśli wybierzemy cyfrę dziesiątek, zostaną do wyboru dwie cyfry). Zatem wszystkich możliwości jest:

2 · 3 = 6

Aby wypisać wszystkie możliwości, możemy posłużyć się grafem zwanym drzewem kombinatorycznym:

Wariacje bez powtórzeń. Wybór cyfry dziesiątek. Wybór cyfry jedności.

Zatem są to liczby: 12, 13, 21, 23, 31, 32.

Odpowiedź

Wszystkich możliwości jest 6.

Zadanie 2

Szyfr do sejfu składa się z czterech różnych cyfr od 1 do 9 włącznie. Ile jest wszystkich możliwości, jeżeli pierwsza cyfra jest większa od 6?

Wariacje bez powtórzeń. Rozwiązanie. Pierwszą cyfrą szyfru może być 7, 8 lub 9. Pierwsza cyfra ma być większa niż 6. Mamy więc 3 możliwości. Drugą cyfrę szyfru możemy wybrać na 8 sposobów, trzecią na 7 sposobów, a ostatnią na 6 sposobów. Pozostało do wyboru 8 z 9 cyfr. Wybieramy jedną z 7 pozostałych cyfr, a następnie jedną z sześciu. Zatem możliwości jest...

Odpowiedź

Wszystkich możliwych szyfrów spełniających warunki zadania jest 1008.

Zadanie 3

Z urny, w której znajduje się 9 ponumerowanych kul od 1 do 9 włącznie, losujemy kolejno bez zwracania 3 kule. Zapisując wyniki losowań tworzymy liczby trzycyfrowe. Ile można utworzyć w ten sposób liczb mniejszych od 780?

Rozwiązanie:

Pierwszą cyfrą (cyfrą setek) może być każda cyfra od 1 do 7 włącznie (8 i 9 nie może, bo liczba ma być mniejsza od 780). Rozważmy dwa przypadki:

a) cyfrą setek jest 7,

b) cyfra setek jest elementem zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Wariacje bez powtórzeń. Jeśli cyfrą setek będzie 7 (1 możliwość), to drugą nie może być 8 oraz 9. Gdyby cyfrą setek była cyfra 8 lub 9, to utworzona liczba trzycyfrowa byłaby większa niż 780. 7 nie może być, bo jest już wylosowane. Ostatnią cyfrą może być każda z 7 pozostałych. Zatem cyfrą dziesiątek może być każda ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} - 6 możliwości. Ostatnią cyfrę możemy wylosować na 7 sposobów. Zostało 7 spośród 9 liczb. Zatem mamy 1 x 7 x 7 = 42 możliwości. Jeśli cyfrą setek będzie cyfra ze zbioru... to cyfrą dziesiątek oraz jednosci może być każda z możliwych cyfr, zatem... Cyfra setek, 6 możliwości, cyfra dziesiątek, 8 możliwości, cyfra jedności, 7 możliwości. Cyfra dziesiątek - po wylosowaniu pierwszej kuli w urnie pozostaje 8 kul, zatem losując drugą mamy 8 możliwości. Cyfra jedności - po wylosowaniu dwóch pierwszych kul w urnie pozostało ich 7, zatem losując ostatnią kulę możemy uzyskac 7 różnych wyników. Zatem mamy 6 x 8 x 7 = 336 możliwości. Podsumujmy...

Odpowiedź

Wszystkich liczb trzycyfrowych spełniających warunki zadania jest 378.

Wariacje bez powtórzeń. Twierdzenie. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego (ozn....) wyraża się wzorem...

Przykład

Wariacje bez powtórzeń.

Uwaga!

Gdy n = k, to wariacje bez powtórzeń są permutacjami:

Wariacje bez powtórzeń. Pamiętaj: 0! = 1

Zadanie 4

W finale konkursu matematycznego bierze udział 10 uczestników. Ile jest możliwości zajęcia przez nich trzech pierwszych miejsc, jeżeli uwzględniamy kolejność (I, II i III miejsce)?

Rozwiązanie:

Wariacje bez powtórzeń. Są to trzywyrazowe wariacje bez powtórzeń 10-elementowego zbioru. Skracamy licznik i mianownik przez 7!. Wszystkich możliwości jest 720.

Zadanie 5

Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 5?

Rozwiązanie:

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5.

Zatem rozpatrzmy dwa przypadki:

a) cyfrą jedności jest 0,

b) cyfrą jedności jest 5.

Wariacje bez powtórzeń. Jeśli cyfrą jedności jest 0, to pozostałe cztery cyfry możemy wybrać ze zbioru 9-elementowego. Mamy do czynienia z 4-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru 9-elementowego i jest ich... Cyfrę tysięcy możemy wybrać na 9 sposobów, cyfrę setek na 8 sposobów (pozostało 8 cyfr), cyfrę dziesiątek na 7 sposobów, a cyfrę dziesiątek już tylko na 6 sposobów. Wszystkich liczb pięciocyfrowych, których ostatnią cyfrą (cyfrą jedności) jest 5, mamy 3024. Jednak w tej sytuacji musimy zwrócić uwagę na to, iż zero nie może być pierwszą cyfrą liczby. Rozważmy zatem, ile jest wszystkich możliwych ustawień pięciu różnych cyfr, jeśli pierwszą z nich jest 0, a ostatnią 5. Analogicznie jak w przypadku liczb 5-cyfrowych o cyfrze jedności 0. Puste miejsca możemy uzupełnić trzema z ośmiu pozostałych cyfr (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9). Możemy to zrobić na tyle sposobów, ile jest 3-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 8-elementowego, czyli... Cyfry nie mogą się powtarzać, co wynika z warunków zadania. Zatem liczb pięciocyfrowych, których cyfrą jedności jest 5, mamy... Ostatecznie wszystkich liczb, których cyfrą jedności jest 0 lub 5, mamy... Sumujemy liczbę wszystkich możliwości wyliczonych...

Odpowiedź

Wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 5, jest 5712.

Zadanie 6

W pewnej fabryce postanowiono wprowadzić identyfikatory dla pracowników w niej zatrudnionych. Numer każdego identyfikatora ma być inny. Składać ma się on w kolejności: najpierw z dwóch różnych liter ze zbioru {A, B, C, D}, a następnie z trzech różnych cyfr spośród wszystkich możliwych (zero może stanowić pierwszą z trzech cyfr). Czy każdy pracownik tej fabryki otrzymałby identyfikator, gdyby liczba wszystkich zatrudnionych wynosiła 8600?

Rozwiązanie:

Numer identyfikatora potraktujemy jako pięciowyrazowy ciąg:

Wariacje bez powtórzeń. Dwoma pierwszymi wyrazami tego ciągu mają być 2 spośród 4 liter alfabetu (bez możliwości powtórzenia litery), zatem mamy do czynienia z 2-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru 4-elementowego. 3 pozostałe wyrazy mają być trzema spośród 10 cyfr (bez powtórzeń). Mamy zatem do czynienia z 3-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru 10-elementowego.

Zatem wszystkich możliwych numerów identyfikatora w tej fabryce jest:

Wariacje bez powtórzeń.

Odpowiedź

W przypadku zatrudnienia 8600 pracowników, wszyscy zatrudnieni dostaną identyfikatory.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij