Opracowania.pl PLUS:
Zaloguj się żeby dostać więcej
Jesteś tutaj: Matematyka » Liceum » Kombinatoryka » Wariacje z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami. Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru n-elementowego.

Zapamiętaj!

Z k-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami danego zbioru mamy do czynienia wtedy, gdy k razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z tego zbioru.

Zadanie 1

Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając trzy razy monetą?

Rozwiązanie:

Wynikiem rzutu monetą może być orzeł (ozn. o) lub reszka (ozn. r).

Przedstawmy możliwe wyniki za pomocą drzewka:

Wariacje z powtórzeniami. Kolejność wyników poszczególnych rzutów monetą jest ważna, np. wyniki (o, r, o) i (o, o, r) są różne mimo iż w obu orzeł wypadł dwa razy.

Otrzymane wyniki możemy zapisać w postaci następujących ciągów:

(o, o, o,), (o, o, r), (o, r, o), (o, r, r), (r, o, o,), (r, o, r), (r, r, o), (r, r, r).

Są to 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dwuelementowego i jest ich wszystkich 8.

Odpowiedź

Wszystkich możliwych wyników trzykrotnego rzutu monetą jest 8.

Zadanie 2

Na ile różnych sposobów mogą 4 osoby wsiąść do tramwaju złożonego z dwóch wagonów?

Rozwiązanie:

Dla ułatwienia ponumerujmy wagony liczbami 1 i 2 oraz nazwijmy pasażerów jako osoby A, B, C i D. Każdemu pasażerowi przyporządkujmy numer wagonu, do którego wsiądzie. Jednym z możliwych przypadków jest:

Pasażer A B C D
Nr wagonu 1 1 2 2
Wariacje z powtórzeniami. Z tabeli odczytujemy, że pasażerowie A i B wsiedli do wagonu nr 1, natomiast C i D do wagonu nr 2. Jeżeli natomiast osoby C i D wsiądą do wagonu nr 1, natomiast A i B do wagonu nr 2, jest to inna sytuacja niż poprzednia. Wynik można zapisać jako (1, 1, 2, 2), gdzie pierwszy wyraz jest numerem wagonu, do którego wsiadł pasażer A, drugi wyraz to numer wagonu, do którego wsiadł pasażer B itd. Liczba pasażerów wsiadających do danego wagonu nie zmienia się, ale zmieniają się osoby wsiadające do niego. Wynik możemy zapisać jako (2, 2, 1, 1).

Elementy zbioru {1, 2} powtarzają się, kolejność ich jest ważna, zatem mamy do czynienia z 4-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru 2-elementowego. Każdy z czterech pasażerów ma 2 możliwości dokonania wyboru wagonu, zatem wszystkich sposobów jest:

2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

Odpowiedź

Wszystkich możliwości rozmieszczenia pasażerów w tym tramwaju jest 16.

Wariacje z powtórzeniami. Twierdzenie. Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem...

Zadanie 3

Na ile różnych sposobów można włożyć pięć różnych przedmiotów do trzech szuflad?

Rozwiązanie:

Wariacje z powtórzeniami. Ponumerujmy szuflady od 1 do 3, a przedmioty oznaczmy literami A, B, C, D i E. Umieszczając każdy z pięciu przedmiotów w jednej z szuflad, przyporządkowujemy mu numer szuflady, do której został włożony. Zapisując kolejno numery wybranych szuflad tworzymy 5-wyrazowe ciągi zbioru {1, 2, 3} np. (1, 1, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 3, 1), itp. (1,1,2,3,2) oznacza, że przedmiot A i B został umieszczony w szufladzie nr 1, przedmiot C i E w szufladzie nr 2, natomiast D w szufladzie nr 3. Kolejność wyrazów jest ważna, wyrazy mogą się powtarzać, zatem mamy do czynienia z 5-wyrazo-wymi wariacjami z powtórzeniami zbioru 3-elementowego i jest ich...Przedmioty umieszczamy w szufladach zawsze w tej samej kolejności, tutaj w kolejności alfabetycznej.

Odpowiedź

Pięć różnych przedmiotów można umieścić w trzech szufladach na 243 różne sposoby.

Zadanie 4

Do windy w dziesięciopiętrowym budynku, stojącej na parterze, wsiadło 6 osób.

Na ile sposobów mogą one wysiąść z windy na poszczególnych piętrach?

Rozwiązanie:

Każda z 6 osób wysiada na jednym z dziesięciu pięter. Aby rozróżnić osoby, oznaczmy je kolejnymi literami alfabetu. Jednymi z wielu możliwości są sytuacje:

Osoba A B C D E F
Nr piętra I II VI III III IX
Osoba A B C D E F
Nr piętra III I II VI IX III

W obydwu sytuacjach na III piętrze wysiadły dwie osoby, na I, II, VI i IX po jednej, a na IV, V, VII, VIII i X nie wysiadł nikt. Jednak są to różne dwa sposoby opuszczenia windy przez pasażerów - te same osoby w obu przypadkach wysiadły na innych piętrach. Sytuacje opisane w tabelkach możemy przedstawić w postaci ciągów: (I, II, VI, III, III, IX) oraz (III, I, II, VI, IX, III), gdzie wyrazami ciągów są numery pięter, na których wysiadły poszczególne osoby w kolejności alfabetycznej. Wszystkich możliwych takich ciągów jest:

Wariacje z powtórzeniami. Ponieważ kolejność wyrazów jest ważna oraz wyrazy ciągu mogą się powtarzać, mamy do czynienia z 6-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru 10-elementowego.

Sześciu pasażerów może wysiąść z windy dziesięciopiętrowego budynku na 1 000 000 różnych sposobów.

Zadanie 5

W urnie znajduje się 8 ponumerowanych kul od 1 do 8. Losujemy kolejno 3 kule, zwracając je za każdym razem do urny po zapisaniu ich numerów. Ile liczb trzycyfrowych możemy w ten sposób otrzymać?

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że numer pierwszej wylosowanej kuli jest cyfrą setek, drugiej cyfrą dziesiątek, trzeciej kuli cyfrą jedności.

Zatem w tym przypadku wszystkich możliwości utworzenia liczb jest:

Wariacje z powtórzeniami. Są to 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 8-elementowego.

Wszystkich możliwych liczb spełniających warunki zadania jest 512.

Zadanie 6

Ile różnych wyników możemy otrzymać przy:

a) sześciokrotnym rzucie monetą,

b) rzucie sześcioma monetami o różnych nominałach?

Rozwiązanie:

Ad a)

Rzucając monetą możemy otrzymać dwa wyniki:

- wypadł orzeł - wynik oznaczmy „o”,

- wypadła reszka - wynik oznaczmy „r”.

Zapisując kolejno wyniki poszczególnych rzutów, utworzymy 6-wyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru {o, r}, np.(o, r, o, r, r, o), (r, r, r, r, r, r), itp.

Wszystkich możliwych wyników otrzymamy:

Wariacje z powtórzeniami. Są to 6-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 2-elementowego.

Rzucając sześciokrotnie monetą możemy otrzymać 64 różne wyniki.

Ad b)

Wynik: „o” lub „r”, otrzymany w rzucie każdą z sześciu monet zapisujemy zawsze w tej samej kolejności (np. jako pierwszy zapisujemy wynik rzutu monetą o najmniejszym nominale, potem kolejno o co raz większym nominale, na końcu wynik rzutu monetą o największym nominale). Zatem tworzymy ciągi, których wyrazy mogą się powtarzać i ich kolejność jest ważna. Wszystkich możliwości mamy więc tyle samo, ile w poprzednim przypadku.

Wariacje z powtórzeniami. Odpowiedź.

Rzucając sześcioma monetami o różnych nominałach możemy otrzymać tyle samo różnych wyników, ile w przypadku sześciokrotnego rzutu monetą, tj. 64.

Zadanie 7

Rzucamy cztery razy kostką do gry, zapisując liczbę oczek uzyskanych w kolejnych rzutach. Ile różnych liczb czterocyfrowych możemy w ten sposób otrzymać?

Rozwiązanie:

Wariacje z powtórzeniami. Wynikiem rzutu kostką do gry może być: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Rzucając kostką cztery razy, zapisujemy kolejno wyniki poszczególnych rzutów. Wszystkich możliwości mamy... Tworzymy 4-wyrazowe ciągi zbioru 6-elementowego. Kolejność wyrazów jest ważna i wyrazy mogą się powtarzać (np. mogą wypaść same 6). Odpowiedź.

Różnych liczb czterocyfrowych możemy otrzymać 1296.

Zadanie 8

Ile różnych sześciocyfrowych numerów telefonów może zaproponować centrala swoim abonentom?

Rozwiązanie:

Wszystkich możliwych numerów sześciocyfrowych jest tyle, ile 6-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru 10-elementowego.

Wariacje z powtórzeniami. Cyfry mogą się powtarzać i jest ich 10.

Zauważmy, że nie możemy jednak brać pod uwagę numerów zaczynających się na „0”. Zastanówmy się, ile ich jest.

Jeśli „0” jest pierwszą wylosowaną cyfrą, to pozostałe pięć cyfr możemy wylosować na tyle sposobów, ile jest 5-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru 10-elementowego, czyli

Wariacje z powtórzeniami. Zero może być każdą cyfrą numeru z wyjątkiem pierwszej.

Odpowiedź

Wszystkich mozliwych sześciocyfrowych numerów telefonicznych jest 900 000.

Zadanie 9

Ile można utworzyć wszystkich parzystych liczb pięciocyfrowych?

Wariacje z powtórzeniami. Rozwiązanie. Cyfry moga się powtarzać i jest ich dziesięć. Cyfrą jedności liczby parzystej może być... Zatem mamy pięć możliwości. Pierwszą cyfrą liczby nie może być zero. Rozważmy możliwości zapisania pięciu cyfr w ciągu, w którym pierwszym wyrazem ciągu nie może być 0, a ostatnim może być: 8, 6, 4, 2 lub 0. Pierwszą cyfrą moe być każda z 9 cyfr z wyjątkiem zera, zatem jest 9 możliwości. Pozostałe trzy cyfry tej liczby możemy ustawić na tyle sposobów, ile jest 3-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru 10-elementowego. Wyobraźmy sobie tę liczbę. Zatem możliwści mamy...

Odpowiedź

Wszystkich parzystych liczb pięciocyfrowych jest 45000.

Zadanie 10

Ile istnieje ciągów co najwyżej 7-wyrazowych utworzonych z elementów zbioru {a, b}?

Rozwiązanie:

Ciągi mają być co najwyżej 7-wyrazowe, czyli mogą być 1-wyrazowe, 2-wyrazowe, 3-wyrazowe itd. aż do 7-wyrazowych włącznie. W każdym przypadku są to wariacje z powtórzeniami zbioru 2-elementowego.

Wariacje z powtórzeniami. Wyrazy ciągów powtarzają się i ich kolejność jest istotna. Zatem wszystkich ich jest...

Odpowiedź

Wszystkich co najwyżej 7-elementowych ciągów, utworzonych z elementów zbioru {a, b} jest 254.

Ostatnio oglądane

Ostatnio oglądane
Na swoich stronach GRUPA INTERIA.PL Sp. z o.o. Sp.k. wykorzystuje wraz z innymi podmiotami pliki cookies (tzw. ciasteczka) i inne technologie m.in. w celach statystycznych i reklamowych. Korzystając z naszych stron bez zmiany ustawień przeglądarki będą one zapisane w pamięci urządzenia. Kliknij, aby dowiedzieć się więcej, w tym jak zarządzać plikami cookies. Zamknij